قضیه مقدار میانگین

قضیه مقدار میانگین

در حساب دیفرانسیل و انتگرال کمتر قضیه‌ای به اندازه قضیه مقدار میانگین و تعمیمهایش کارساز است و حتی بعضی آن را مهمترین قضیه حساب دیفرانسیل و انتگرال می دانند. صورت این قضیه چنان ساده است که ممکن است در نگاه اول متوجه اهمیت نتایج فراوان آن نشوید. این قضیه، ریاضیان لازم را برای براورد کردن مقدار خطای ناشی از تقریب زدن خطی در اختیار ما می گذارد و بوسیله آن می‌توان آزمون مشتق اول برای صعودی و نزولی بودن را توضیح داد. اولین قدم برای درک این قضیه، دانستن صورت اولیه آن یعنی قضیه رل است.

قضیه رل

شواهد هندسی محکمی در دست است که نشان می‌دهد اگر خم همواری محور x را در دونقطه قطع کند، نقطه‌ای روی خم بین آن دونقطه وجود دارد که در آن مماس بر آن نقطه موازی محور x است. قضیه 300 ساله میشل رل

این اطمینان را به ما می‌دهد.

قضیه رل: اگر تابع f در بازه بستهپیوسته و در بازه باز مشتق‌پذیر باشد، و آنگاه نقطه ای چون موجود هست به طوری که:

برهان:
بنابر فرض چون f بر بازه

پیوسته است بنابر قضیه اکسترمم مطلق، f مقادیر ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق خود را در بازه

اختیار می‌کند. حال دو حالت تشخیص می دهیم:

اگر a,b به عنوان نقطه اکسترمم مطلق تابع f باشند (یعنی یکی از a یا b نقطه ماکزیمم مطلق و دیگری مینیمم مطلق باشد) چون پس تابع f تابع ثابت0=(f(x است و لذا برای هر نقطه داریم:
اگر a,b هیچ کدام نقطه اکسترمم مطلق نباشند، پس نقطه ماکزیمم و مینیمم مطلق f در بازه قرار دارد یعنی نقطه ای چون است که به ازای آن اکسترمم مطلق باشد اما با توجه به تعریف، c یک نقطه اکسترمم نسبی نیز می باشد

(یعنی (f(c اکسترمم نسبی است) و چون بنا به فرض f در c مشتق پذیر است و c اکسترمم نسبی است پس:

و به این ترتیب در هر حالت نقطه c مورد نظر وجود دارد و به این ترتیب برهان قضیه کامل می‌شود.

قضیه زیر صورتی کلی‌تر از قضیه فوق را نشان می‌دهد و در واقع بیان می کند در قضیه رُل لزومی ندارد که f در a و b صفر شود و همین قدر که f در دو نقطه a و b یک مقدار ثابت را اختیار کند کافی است.

قضیه: هرگاه تابع f بر بازه بسته پیوسته بوده و در بازه مشتق‌پذیر باشد، و ، آنگاه نقطه‌ای چون

وجود دارد که:

برهان:
قضیه در حالت k=0 همان قضیه رل خواهد بود که در بالا ذکر شد. در غیر این صورت تابع

در بازه

پیوسته و در بازه

مشق پذیر است و نیز داریم:

و لذا تابع

شرایط قضیه رل را داراست بنابراین نقطه‌ای چون

موجود است که

و حکم برقرار است.

توجه داشته باشید که شرط پیوستگی و مشتق‌پذیر بودن در قضیه رل بسیار اساسی و اگر یکی از این دو شرط برقرار نباشد در مورد تابع مورد بوسیله اوین قضیه هیچ گونه اظهار نظری نمی توان کرد.
برای اطلاع بیشتر از قضیه رل و کاربردهای آن به مقاله قضیه رل رجوع کنید.

کاربرد قضیه رل

استفاده مهمی که رل از قضیه خود کرد این بود که نشان داد اگر f تابعی باشد که شرایط قضیه رل را داشته باشد آنگاه بین هر دو ریشه آن یک ریشه برای مشتق f وجود دارد. پس قضیه زیر را داریم:

قضیه: اگر f در بازه بسته پیوسته و در بازه مشتق‌پذیر باشد آنگاه بین هر دوریشه f در این بازه(در صورت وجود) یک ریشه برای مشتق f وجود دارد.

برهان
فرض می‌کنیم

دو ریشه متمایز f در بازه

باشند.بی‌آنکه به کلیت اثبات خللی وارد شود فرض می‌کنیم

چون f در

پیوسته است و

پس f در بازه

پیوسته و در بازه

مشتق‌پذیر است و نیز بنا به فرض داریم

پس بنابر قضیه رل نقطه‌ای چون

موجود است که

ولذا حکم ثابت می‌شود.

مثال: نشان دهید هر چندجمله ای از درجه سه حداکثر سه ریشه دارد.

پاسخ: اثبات به برهان خلف است. فرض می‌کنیم

تابعی چند جمله‌ای از درجه سه باشد که دارای بیش از سه ریشه است مثلاً دارای حداقل 4 ریشه باشد(فرض خلف) و

چهار ریشه آن باشند. در این صورت f در هریک از بازه‌های

شرایط قضیه رل را دارد پس

در هریک از این بازه‌ها دارای یک ریشه خواهد بود که این نشان می‌دهد

دارای حداقل سه ریشه است که این تناقض است. پس فرض خلف باطل و حکم برقرار است.

قضیه مقدار میانگین

حال با دانستن قضیه رل می‌توانیم قدم بعدی را برای بیان قضیه مقدار میانگین برداریم. در حقیقت این قضیه صورتی کلی‌تر ازقضیه رُل را به ما نشان می‌دهد. فرض کنید تابع f که در بالا در مورد آن صحبت کردیم در نقاط a و b ابتدا و انتهای بازه مقادیر مختلفی را اختیار کند. در این صورت دیگر نمی‌توان با قاطعیت گفت که f در نقطه‌ای میانی بازه a و b دارای مماس افقی است اما می‌شود گفت که منحنی f در نقطه‌ای میانی مماسی موازی با وتر واصل بین دو نقطه a و b دارد. این مطلب اساس قضیه مقدار میانگین است.

قضیه مقدار میانگین: هرگاه f تابعی پیوسته در بازه و مشتق‌پذیر در بازه باشد، آنگاه نقطه‌ای چون موجود است که:

برهان:
تابع

را در نظر می‌گیریم که در آن

عددی ثابت است. تابع

در بازه

پوسته و در

مشتق‌پذیر است. حال

را به گونه ای تعریف می‌کنیم که

در این صورت باید داشته باشیم:

پس تابع

تابعی است که در بازه

در شرایط قضیه رل صدق می کند پس نقطه‌ای چون

موجود است که:

و برهان قضیه کامل می شود.
در واقع در اثبات قضیه مقدار میانگین سعی شد تابعی ساخته شود که از آن با استفاده از قضیه رُل بتوانیم به نتیجه مورد نظر برسیم.

قضیه مقدار میانگین به صورت نمو

فرض کنید f در بازه ای شامل

مشتق پذیر باشد. در این صورت، نمو f در

را می‌توان به شکل:

نوشت که در آن

برهان:
f بر بازه

پیوسته و در

مشتق‌پذیر است پس بنابر قضیه مقدار میانگین نقطه‌ای چون

وجود دارد که:

از طرفی داریم:

پس قرار می دهیم

و به این ترتیب:

حال با قرار دادن c در رابطه (*) خواهیم داشت:

و لذا حکم ثابت می‌شود.

به عنوان مثال اگر

خواهیم داشت:

مناسب برابر است با

چون در این صورت داریم:

چه کسی قضیه مقدار میانگین را اثبات کرد؟

ژوزف لویی لاگرانژ

(1736-1813) در سال 1787، در آن هنگام که می کوشید بدون استفاده از مفهوم حد، حساب دیفرانسیل و انتگرال را مورد مطالعه قرار دهد، برای نخستین بار این قضیه مقدار میانگین را اثبات کرد. به همین سسب گاهی به این قضیه قضیه لاگرانژ نیز می گویند.این قضیه مهم را در آثار آمپر

(1775-1836) هم می‌توان یافت. هر چند هرت آمپر به خاطر تحقیقاتی است که در الکتریسیته انجام داد، ولی تحقیقات اولیه وی در زمینه حساب دیفرانسیل و انتگرال بود و او به نقد و تصحیح ایده‌های لاگرانژ در مبادی حساب دیفرانسیل و انتگرال پرداخت. ولی کوشی

بود که در کتاب درسی معروف خود به نام «درس‌های آنالیز» در 1821 و «خلاصه درسهایی در باره حساب بینهایت کوچک‌ها» در سال 1823 تعمیم قضیه مقدار میانگین را به چاپ رسانید، و بدین ترتیب آن را معروف ساخت. در ادامه به قضیه مطرح شده توسط کوشی یعنی قضیه کوشی می پردازیم.

کاربرد قضیه مقدار میانگین

از قضیه مقدار میانگین در اثبات بسیاری از نامساوی‌ها و قضایای مهم، و نیز آزمون مشتق اول برای صعودی و نزولی بودن توابع استفاده می شود. در اینجا به چند مورد از این کاربردها اشاره می کنیم.