X
تبلیغات
بازی و ریاضی

بازی و ریاضی

سلام به زودی سایت به روز میشود

+ نوشته شده در  دوشنبه بیست و هشتم تیر 1389ساعت 16:18  توسط عبداله احمدی  | 

دلتنگی

دلم از اين روزهاي دلتنگي مي گيره..
+ نوشته شده در  دوشنبه بیست و یکم خرداد 1386ساعت 14:11  توسط عبداله احمدی  | 

موارد استعمال مشتق


موارد استعمال مشتق

مشتق کاربردهای بسیار وسیعی دارد که در زیر نمونه‌های مهمی را ذکر می‌کنیم.

پیدا کردن شیب خط

پیدا کردن خطی که دریک نقطه بر یک منحنی مماس یا عمود است. برای معادله خط (y=f(x ، شیب خط قاطع برابر است با: m ، m=tanθ را شیب یا ضریب زاویه‌ای می‌گویند. خطی که بر مماس بر منحنی عمود باشد، خط قائم بر منحنی می‌نامیم. بنابراین اگر m≠0 شیب خط مماس و m شیب خط قائم بر منحنی باشد، آنگاه داریم: m.m= -1

از مشتق می‌توان در ساختن جامدادی ، وسایل نظامی ، در ساختن قطب نما و غیره استفاده کرد یعنی می‌توان با استفاده از مشتق شیب مثلا جامدادی را محاسبه کنیم. مثلا در ساختن دیدبانی می‌توان از ضریب زاویه‌ای استفاده کرد. در صورتی که شیب در نقطه n مساوی صفر باشد آنگاه مماس بر منحنی در این نقطه، خطی افقی یا موازی محور x است. بنابراین خط قائم بر منحنی در این نقطه، خطی عمودی یا موازی محور y خواهد بد و داریم: ∞ = (m(a

پیدا کردن سرعت

اگرجسم متحرکی را در نظر بگیرد که روی محوری حرکت می‌کند. فرض کنید t ثانیه پس از شروع حرکت، فاصله جسم از مبدا برابر (S=S(t باشد.
1- (S=S(t را معادله حرکت جسم متحرک روی محور OS نسبت به نقطه O می‌نامیم.
2- نسبت مسافت پیموده شده از لحظه t=a تا t=b به زمان b≠a) b-a) را سرعت متوسط در فاصله زمانی a,b می‌نامیم، پس = سرعت متوسط در فاصله زمانی a,b
سرعت متوسط را مقدار متوسط تغییر مسافت در فاصله زمانی a,b نیط می نامند.
3- اگر سرعت متوسط در فاصله زمانی a,t، وقتی t به سمت a میل می‌کند، حد داشته باشد، آن حد را سرعت لحظه‌ای یا بطور خلاصه سرعت جسم متحرک در لحظه t=a می‌نامیم و با علامت (v(a نشان می‌دهیم. سرعت لحظه‌ای یعنی حد سرعت متوسط.. (V(a را مقدار لحظه‌ای تغییر مسافت نسبت به زمان در لحظه t=a نیز می‌نامند. یعنی اگر از معادله مسافت مشتق بگیریم، آنگاه مقدار سرعت به دست می‌آید. (V(t)=S(t

محاسبه تغیرات یک کمیت نسبت به دیگری

با استفاده از مشتق می‌توان مقدار تغییرات یک کمیت را نسبت به کمیت معین دیگری، وقتی این دو کمیت به وسیله تابعی به هم مربوط هستند، به دست آورد. مثلا اگر (g(r مساحت دایره‌ای به شعاع r باشد، داریم: g(r) = π r2
آنگاه مقدار لحظه‌ای تغییر مساخت دایره نسبت به شعاع آن برابر است با g(r) = 2πr
مقدار لحظه‌ای تغییر مساحت این دایره، وقتی شعاع آن برابر مقداری مثل r=1 باشد، برابر است با: g(1) = 2π

پیدا کردن شتاب

اگر (S(t معادله حرکت جسم متحرک باشد آنگاه V را متوسط سرعت در یک فاصله زمانی می‌گویند. اگر از سرعت متوسط مشتق بگیریم مقدار شتاب حرکت بدست می‌آید. که شتاب را با (a(t نشان می‌دهند یعنی شتاب در لحظه t می‌باشد. (a(t)=V(t)=S"(t

محاسبه انرژی جنبشی

می‌دانیم انرژی جنبشی جسمی به جرم m و سرعت V عبارت است از mV2/2 برای بدست آوردن انرژی جنبشی می‌توان سرعت را از طریق گرفتن مشتق از معادله حرکت بدست آورد سپس مقدار V را در معادله انرژی جنبشی قرار داد.

پیدا کردن ماکزیمم و مینیمم نسبی توابع

اگر تابعی در یک نقطه از یک بازه اکسترمم نسبی داشته باشد و مشتق تابع نیز در آن نقطه وجود داشته باشد آنگاه مشتق تابع در آن نقطه مساوی صفر است. منظور از اکسترمم نسبی داشتن ماکزیمم یا مینیمم نسبی در یک نقطه است. ماکزیمم نسبی و مینیمم نسبی به صورت زیر تعریف می‌شوند:

  • تابع f در نقطه d یک "ماکزیمم نسبی" دارد هر گاه (f(d)≥f(x
  • تابع f در نقطه C یک "مینیمم نسبی" دارد هر گاه (f(c)≤f(x

پیدا کردن تابع صعودی و نزولی

اگر برای همه مقادیر (xε(a,b داشته باشیم:

  • اگر مشتق f بزرگتر از صفر باشد آنگاه f تابعی صعودی است.
  • اگر مشتق f کوچکتر از صفر باشد آنگاه f تابعی نزولی است.

تعیین نقاط بحرانی توابع

نقطه C از قلمرو f را یک نقطه بحرانی f می‌نامیم، در صورتی که یکی از دو شرط زیر برقرار باشد:
1- مشتق f در نقطه c وجود نداشته باشد.
2- مشتق f در نقطه C مساوی صفر باشد.
  • فرض کنید C یک نقطه بحرانی تابع f(c)=0,f باشد، داریم:
  • اگر مشتق مرتبه دوم f در نقطه C کوچکتر از صفر باشد، آنگاه f در نقطه C ماکزیمم نسبی دارد.
  • اگر مشتق مرتبه دوم f در نقطه C بزرگتر از صفر باشد، آنگاه f در نقطه C مینیمم نسبی دارد.

پیدا کردن تقعر، تحدب و نقطه عطف

  1. منحنی (y = f(x را در نقطه ( (C , f(C ) مقعر می‌نامیم، اگر مشتق در نقطه C وجود داشته باشد و برای هر x متعلق به این بازه در بالای خط مماس بر منحنی واقع باشد.
  2. منحنی (y=f(x را در نقطه ( (C , f(C ) محدب می‌نامیم، اگر مشتق f در نقطه C وجود داشته باشد برای هر x متعلق این بازه در پایین خط مماس بر منحنی واقع باشد.

یا داشته باشیم:

  1. اگر مشتق مرتبه دوم f در نقطه C بزرگتر از صفر باشد، آنگاه منحنی f در نقطه c مقعر است.
  2. اگر مشتق مرتبه دوم f در نقطه c کوچکتر از صفر باشد، آنگاه منحنی در نقطه C محدب است.

  • نقطه عطف: اگر روی یک منحنی نقطه‌ای وجود داشته باشد که در آن نقطه تقعر منحنی بر تحدب تغییر کند یا بر عکس، آن را یک نقطه عطف می‌نامیم. یا می‌توانیم بگوییم: f"(C) = 0

قضیه مقدار میانگین

اگر تابع f روی a,b روی (a,b) مشتقپذیر باشد، آنگاه لااقل یک نقطه C در بازه باز (a,b) وجود دارد بطوری که:



قضیه رول (Rolle)

اگر تابع f در بازه بسته a,b پیوسته، و در بازه باز (a,b) مشتق پذیر، و به علاوه مقدار تایع f در نقطه a و مقدار تابع در نقطه b با هم برابر و مساوی صفر باشند. آنگاه لااقل یک نقطه مانند C، وجود دارد که متعلق به بازه باز است بطوری که مشتق تابع f درنقط C مساوی صفر است
+ نوشته شده در  چهارشنبه نهم خرداد 1386ساعت 18:32  توسط عبداله احمدی  | 

کاربردهای مشتقات جزئی

ماکسیمم‌ها ، مینیمم‌ها و نقاط زینی

توابع دارای دو متغیر مستقل نیز مانند توابع یک متغیره می‌توانند Max و Min موضعی داشته باشند. برای بدست ‌آوردن مقادیر Max و Min یک تابع پیوسته چون توسط مشتقات جزئی گام اول ، استفاده از مشتقات جزئی مرتبه اول تابع است که با آن ، فهرست کوتاه و جامعی از نقاطی را بدست می‌آوریم که در آنها ممکن است مقادیر اکسترمم موضعی خود را در اختیار گیرد. گام بعدی به این بستگی دارد که R بسته و کراندار باشد یا خیر. در صورتی ‌که باشد به قضیه‌ای از حساب دیفرانسیل و انتگرال پیشرفته متوسل می‌شویم که حاکی است هر تابع پیوسته بر یک ناحیه بسته و کراندار چون R یک مقدار Max و Min مطلق دارد. سپس بکمک فهرستی که تهیه کردیم مقادیر Max و Min مطلق را می‌یابیم. اگر R بسته و کراندار نباشد تابع ممکن است در این بازه مقادیر اکسترمم مطلق نداشته باشد. باوجود این توسط مشتقات جزئی مرتبه دوم می‌توانیم به تلاش خود ادامه دهیم و از صحت یا عدم‌صحت این نکته اطمینان حاصل کنیم تا نقاطی از فهرست را که دارای اکسترمم موضعی‌اند را شناسایی کنیم. اختلاف عمده این روش با روش توابع یک متغیره در این است که آزمون‌های مشتقات اول و دوم در این مورد با مشتقات زیادتری سروکار دارند.

آزمونهای مشتق

تساوی به ازای یک نقطه درونی از R به تنهایی تضمین نمی‌کند که f در آن نقطه یک مقدار اکسترمم داشته باشد. اما اگر f و مشتقات جزئی مرتبه اول و دوم آن بر R پیوسته باشند، آزمونی موسوم به آزمون مشتق دوم وجود دارد که ممکن است رفتار در را مشخص کند بدین ترتیب که اگر آنگاه:


الف) f در یک Max موضعی دارد هرگاه در داشته باشیم:


ب) f در یک Min موضعی دارد هرگاه در داشته باشیم:


ج) f در یک Minنقطه زینی دارد هرگاه در داشته باشیم:


این آزمون درباره نتیجه‌ای نمی‌دهد. برای بدست‌آوردن مقادیر اکسترمم خمی‌هایی مثل ، f را بصورت تابعی از t تلقی می‌کنیم و مقادیر اکسترمم f را مانند توابع یک متغیره بدست می‌آوریم.

تقریب خطی و برآورد نمو

در علوم تجربی و ریاضی غالبا می‌توانیم بجای توابع دومتغیره پیچیده توابع ساده‌تری را درنظر بگیریم که با استفاده از آنها ، بدون اینکه لازم باشد کار زیادی انجام دهیم دقت مطلوب تأمین می‌شود. صورت خطی تابع در توسط مشتقات جزئی عبارت است از تابع:



که توسط آن تقریب تقریب خطی در نزدیکی است. در موارد زیادی می‌توانیم فرمول را بجای فرمول بکار ببریم. هنگام استفاده از فرمول طبق معمول فرض می‌کنیم که در همسایگی ، f و مشتقات جزئی مرتبه اول آنها پیوسته باشد.

برآورد نمر

فرض کنید و مشتقات جزئی مرتبه اول آن پیوسته باشند و به اندازه مقادیر کو.چک تغییر کنند. آنگاه دیفرانسیل df که با معادله زیر تعریف می‌شود تقریب خوبی از تغییر حاصل در است:



ضرایب لاگرانژ

گاه مجبوریم مقادیر ماکسیمم و مینیمم توابعی را بیابیم که دامنه‌هایشان درون زیرمجموعه خاصی از صفحه- نظیر یک قرص یا یک ناحیه مثلثی- قرار دارند. برای یافتن مقادیر اکسترمم چنین توابعی روش نیرومندی بنام ضرایب لاگرانژ توسط مشتقات جزئی ما را قادر به انجام چنین کاری می‌کند. به بیان کلی ، این روش حاکی است که مقادیر اکسترمم تابعی چون که متغیرهایش قیدی بصورت دارند، در نقاطی از رویه بدست می‌آیند. که در آن نقاط به ازای عددی چون لاندا λ (موسوم به ضرایب لاگرانژ) داشته باشیم:

 

+ نوشته شده در  چهارشنبه نهم خرداد 1386ساعت 18:29  توسط عبداله احمدی  | 

مشتق گیری و مشتق پذیری


مشتق گیری و مشتق پذیری


در گذشته های نه چندان دور، مشتق یک تابع را به صورت زیر نشان می دادند:


که در این فرمولنشان دهنده میزان تغییرات یک کمیت است. ولی در حال حاضر برای محاسبه مشتق توابع،بیشتر از فرمول زیر استفاده میکنند:


معمولا از نمادهای زیر برای نشان دادن مشتق تابع f نسبت به متغیر x، استفاده میکنند:





یک تابع را در نقطه ای مانند x مشتق پذیر گویند اگردر آن نقطه مشتق موجود باشد. و برای مشتق پذیری تابع در یک بازه لازم است تابع در هر نقطه دلخواه از بازه مشتق پذیر باشد.اگر تابع در نقطه ای مانند c پیوسته نباشد آنگاه در c نمیتواند مشتق پذیر باشد.البته لازم به ذکر است که پیوستگی در یک نقطه وجود مشتق را تضمین نمیکند.مشتق یک تابع مشتق پذیر میتواند خود نیز مشتق پذیر باشد،که به مشتق آن مشتق دوم تابع گویند.مشتق مراتب بالاتر نیز به همین ترتیب تعریف میشوند.

بررسی مشتق از نظر هندسی

img/daneshnameh_up/1/12/momas22.gif


از نظر هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه دلخواه ،شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است.البته پیدا کردن مستقیم شیب خط مماس در یک نقطه کار دشواری است.زیرا فقط مختصات یک نقطه از خط مماس را داریم.(برای پیدا کردن شیب یک خط از مختصات دو نقطه بر روی خط استفاده میکنیم)برای حل این مشکل از یک خط متقاطع استفاده کرده و این خط را به خط مماس نزدیک میکنیم.برای درک بهتر موضوع به شکل مقابل توجه نمایید.در این شکل خط متقاطع با رنگ بنفش و خط مماس با رنگ سبز مشخص شده است و عددی که در تصویر تغییر میکند نشان دهنده شیب خط متقاطع میباشد. حال از دیدگاه ریاضی این روش را بیان میکنیم:
از دیدگاه ریاضی بدست آوردن مشتق با حدگیری از شیب خط قاطع که به خط مماس نزدیک شده است بدست می آید.پیدا کردن شیب نزدیکترین خط متقاطع به خط مماس با استفاده از کوچکترین h در فرمول زیر حاصل میشود:



عکس پیدا نشد
بزرگنمایی خط مماس بر یک نقطه روی خط

در این فرمول h به عنوان کوچکترین تغییر متغیر x تعریف میشودو میتواند مقدار مثبت یا منفی اختیار کند. در این فرمول شیب خط با استفاده از نقاط و حاصل میشود.واضح است که در این روش فقط یک نقطه روی خط برای ما معلوم است و نیازی برای بدست آوردن نقطه دوم روی خط وجود ندارد.همچنین در این روش مشتق x ،حاصل حد زیر است:



ارتباط مشتق با علم فیزیک

مشتق نقش مهمی در تعریف برخی ار کمیتهای فیزیک حرکت دارد.ما با داشتن موقعیت اجسام بر حسب زمان میتوانیم سرعت و شتاب آنها را محاسبه کنیم.اگر ما از معادله مکان جسم بر حسب زمان مشتق بگیریم معادله سرعت بدست میآید و اگر از معادله سرعت مشتق گیری نماییم(مشتق دوم معادله مکان)معادله شتاب حاصل میشود.

نقاط بحرانی

نقاطی از تابع که به ازای آنها مشتق تابع تعریف نشده و یا برابر صفر باشد را نقاط بحرانی مینامند.اگر مشتق دوم در یک نقطه بحرانی مثبت باشد،آن نقطه مینیمم نسبی است.و اگر منفی باشدماکزیمم نسبی است،و اگر برابر صفر باشد ممکن است ماکزیمم و مینیمم نسبی نباشد.مشتق گرفتن و بدست آوردن نقاط بحرانی،اغلب ساده ترین راه برای پیدا کردن مینیمم و ماکزیمم نسبی است.(در بهینه سازی نیز این روش بسیار مفید است.به طور کلی مینیمم و ماکزیمم نسبی فقط میتوانند جزئ نقاط بحرانی باشند.

تجزیه و تحلیل نمودارها

مشتق ابزار مناسبی برای آزمودن نمودار تابع است. نقاطی از دامنه تابع که به ازای آنها مشتق اول برابر صفر شود میتوانند نقاط اکسترمم نسبی تابع باشند.البته باید توجه کرد که تمام نقاط بحرانی نقاط اکسترمم نسبی نیستند.برای مثال تابع یک نقطه بحرانی در x=0 دارد، ولی میتوان از نمودار تابع متوجه این نکته شد که تابع در این نقطه دارای ماکزیمم یا مینیمم نسبی نیست.
آزمون مشتق اول و آزمون مشتق دوم ، روش هایی را برای تشخیص نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی فراهم میکند.لازم به ذکر است در فضاهای چند بعدی نقاط اکسترمم را با استفاده از مشتقات جزئی بدست میآورند.

+ نوشته شده در  چهارشنبه نهم خرداد 1386ساعت 18:15  توسط عبداله احمدی  | 

مشتق گیری و مشتق پذیری


مشتق گیری و مشتق پذیری


در گذشته های نه چندان دور، مشتق یک تابع را به صورت زیر نشان می دادند:


که در این فرمولنشان دهنده میزان تغییرات یک کمیت است. ولی در حال حاضر برای محاسبه مشتق توابع،بیشتر از فرمول زیر استفاده میکنند:


معمولا از نمادهای زیر برای نشان دادن مشتق تابع f نسبت به متغیر x، استفاده میکنند:





یک تابع را در نقطه ای مانند x مشتق پذیر گویند اگردر آن نقطه مشتق موجود باشد. و برای مشتق پذیری تابع در یک بازه لازم است تابع در هر نقطه دلخواه از بازه مشتق پذیر باشد.اگر تابع در نقطه ای مانند c پیوسته نباشد آنگاه در c نمیتواند مشتق پذیر باشد.البته لازم به ذکر است که پیوستگی در یک نقطه وجود مشتق را تضمین نمیکند.مشتق یک تابع مشتق پذیر میتواند خود نیز مشتق پذیر باشد،که به مشتق آن مشتق دوم تابع گویند.مشتق مراتب بالاتر نیز به همین ترتیب تعریف میشوند.

بررسی مشتق از نظر هندسی

img/daneshnameh_up/1/12/momas22.gif


از نظر هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه دلخواه ،شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است.البته پیدا کردن مستقیم شیب خط مماس در یک نقطه کار دشواری است.زیرا فقط مختصات یک نقطه از خط مماس را داریم.(برای پیدا کردن شیب یک خط از مختصات دو نقطه بر روی خط استفاده میکنیم)برای حل این مشکل از یک خط متقاطع استفاده کرده و این خط را به خط مماس نزدیک میکنیم.برای درک بهتر موضوع به شکل مقابل توجه نمایید.در این شکل خط متقاطع با رنگ بنفش و خط مماس با رنگ سبز مشخص شده است و عددی که در تصویر تغییر میکند نشان دهنده شیب خط متقاطع میباشد. حال از دیدگاه ریاضی این روش را بیان میکنیم:
از دیدگاه ریاضی بدست آوردن مشتق با حدگیری از شیب خط قاطع که به خط مماس نزدیک شده است بدست می آید.پیدا کردن شیب نزدیکترین خط متقاطع به خط مماس با استفاده از کوچکترین h در فرمول زیر حاصل میشود:



عکس پیدا نشد
بزرگنمایی خط مماس بر یک نقطه روی خط

در این فرمول h به عنوان کوچکترین تغییر متغیر x تعریف میشودو میتواند مقدار مثبت یا منفی اختیار کند. در این فرمول شیب خط با استفاده از نقاط و حاصل میشود.واضح است که در این روش فقط یک نقطه روی خط برای ما معلوم است و نیازی برای بدست آوردن نقطه دوم روی خط وجود ندارد.همچنین در این روش مشتق x ،حاصل حد زیر است:



ارتباط مشتق با علم فیزیک

مشتق نقش مهمی در تعریف برخی ار کمیتهای فیزیک حرکت دارد.ما با داشتن موقعیت اجسام بر حسب زمان میتوانیم سرعت و شتاب آنها را محاسبه کنیم.اگر ما از معادله مکان جسم بر حسب زمان مشتق بگیریم معادله سرعت بدست میآید و اگر از معادله سرعت مشتق گیری نماییم(مشتق دوم معادله مکان)معادله شتاب حاصل میشود.

نقاط بحرانی

نقاطی از تابع که به ازای آنها مشتق تابع تعریف نشده و یا برابر صفر باشد را نقاط بحرانی مینامند.اگر مشتق دوم در یک نقطه بحرانی مثبت باشد،آن نقطه مینیمم نسبی است.و اگر منفی باشدماکزیمم نسبی است،و اگر برابر صفر باشد ممکن است ماکزیمم و مینیمم نسبی نباشد.مشتق گرفتن و بدست آوردن نقاط بحرانی،اغلب ساده ترین راه برای پیدا کردن مینیمم و ماکزیمم نسبی است.(در بهینه سازی نیز این روش بسیار مفید است.به طور کلی مینیمم و ماکزیمم نسبی فقط میتوانند جزئ نقاط بحرانی باشند.

تجزیه و تحلیل نمودارها

مشتق ابزار مناسبی برای آزمودن نمودار تابع است. نقاطی از دامنه تابع که به ازای آنها مشتق اول برابر صفر شود میتوانند نقاط اکسترمم نسبی تابع باشند.البته باید توجه کرد که تمام نقاط بحرانی نقاط اکسترمم نسبی نیستند.برای مثال تابع یک نقطه بحرانی در x=0 دارد، ولی میتوان از نمودار تابع متوجه این نکته شد که تابع در این نقطه دارای ماکزیمم یا مینیمم نسبی نیست.
آزمون مشتق اول و آزمون مشتق دوم ، روش هایی را برای تشخیص نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی فراهم میکند.لازم به ذکر است در فضاهای چند بعدی نقاط اکسترمم را با استفاده از مشتقات جزئی بدست میآورند.

+ نوشته شده در  چهارشنبه نهم خرداد 1386ساعت 18:15  توسط عبداله احمدی  | 

پیوستگی توابع

دید کلی

تابعی مانند که بتوان نمودار آن را در هر بازه‌ای از دامنه‌اش با حرکت پیوسته نوک قلم رسم کرد، مثالی از یک تابع پیوسته است. ارتفاع نمودار این تابع در طول بازه به طور پیوسته با تغییر می‌کند. در هر نقطه داخلی دامنه تابع ، حتی در نقاط انتهایی مقدار تابع حد مقادیر تابع در نزدیکی آن نقطه است. به طور کلی می‌توان گفت در توابع پیوسته حد تابع در هر نقطه با مقدار تابع در آن نقطه برابر و یکسان می‌باشد.

پیوستگی در یک نقطه داخلی

تابعی چون در یک نقطه داخلی از دامنه‌اش ، مانند C پیوسته است اگر:




پیوستگی در یک نقطه انتهایی

تابعی چون در یک نقطه انتهایی چپ از دامنه‌اش مانند پیوسته است اگر:




تابعی چون در یک نقطه انتهایی راست از دامنه‌اش مانند b ، پیوسته است اگر:




تابع پیوسته

یک تابع پیوسته است اگر در هر نقطه از دامنه‌اش پیوسته باشد.

ناپیوستگی در یک نقطه

اگر تابعی چون در نقطه‌ای مانند پیوسته نباشد گوئیم که در ناپیوسته است و را یک نقطه ناپیوستگی می‌خوانیم.

آزمون پیوستگی

تابع در پیوسته است اگر و تنها اگر هر سه گزاره زیر همزمان صادق باشند:


  1. وجود داشته باشد ( در دامنه است).

  2. زمانی که وجود داشته باشد وقتی دارای حد باشد).

  3. وقتی که (این حد برابر با مقدار تابع باشد).
در آزمون پیوستگی ، اگر یک نقطه داخلی دامنه باشد حد مورد نظر دو طرفه است و اگر یک نقطه انتهایی دامنه باشد، حد مذبور یک حد یک طرفه مناسب (چپ و راست) است.

به خاطر داشته باشیم:

  • تابع جز صحیح به ازای هر عدد صحیح ناپیوسته است. این تابع به ازای هیچ عدد صحیح به حدی میل نمی‌کند و بنابراین در قسمت (2) ی آزمون پیوستگی به ازای هیچ عدد صحیحی صدق نمی‌کند.

  • دومین موردی که باید به خاطر داشته باشیم این است که توابع سینوسی و کسینوسی در هر نقطه پیوسته‌اند.
  • هر چند جمله‌ای که به صورت است پیوسته می‌باشد.
  • هر خارج قسمت از چند جمله‌ای پیوسته است به غیر از ریشه‌های مخرج ، یعنی اعدادی که مخرج را مساوی صفر می‌کنند.

  • اگر توابع و در پیوسته باشند آنگاه ، ، ، (به ازای هر ) و به شرطی که در نقطه پیوسته هستند. به عبارت دیگر حدهای توابع مذکور وقتی وجود دارند و برابر با مقادیر تابع در هستند.

  • توابع مشتق پذیر نیز پیوسته هستند به عبارت بهتر اگر تابعی در نقطه‌ای چون مشتق پذیر باشد، در این نقطه پیوسته هم هست. این موضوع یک قضیه یک طرفه است، زیرا عکس موضوع صادق نیست.

  • ترکیب توابع پیوسته ، پیوسته است. هرگاه در و در پیوسته باشد آنگاه تابع مرکب در پیوسته است.

کاربردها

توابع پیوسته ویژگیهای مهمی دارند. آیا تا کنون از خود پرسیده‌اید که چرا بخش اعظمی از مطالبی که می‌خوانیم به حد به پیوستگی مربوط است یا اصلا چرا توابع پیوسته را مطالعه می‌کنیم؟ پاسخ به این سوال با کمی دقت و کنجکاوی بسیار ساده است. توابع پیوسته را به این دلیل مطالعه می‌کنیم چون در ریاضیات کاربردی و رشته‌های کاربردی مفیدند و از اهمیت به سزایی برخورداند. هر تابع پیوسته ، مشتق تابع دیگری است، مثلا اگر فرمولی مانند برای سرعت یک جسم متحرک به عنوان تابع پیوسته‌ای از زمان در دست باشد، با استفاده از آن می‌توانیم فرمولی چون (S(t برای مکان جسم در هر لحظه بدست آوریم. تابعی که در هر نقطه بازه بسته پیوسته است، در این بازه مقدار Min و Max خود را می‌گیرد.

یکی از کاربردهای توابع پیوسته قضیه مقدار میانی است. به این معنی که اگر در هر نقطه از بازه بسته پیوسته باشد و عددی بین و باشد، آنگاه دست کم یک نقطه بین و وجود دارد که در آن نقطه ، مقدار را اختیار کند. نتایج این قضیه در ترسیم توابع و پیدا کردن ریشه بسیار حائز اهمیت است. به عبارت دیگر اگر تابعی پیوسته و و وجود داشته و مختلف العلامت باشند، آنگاه یک عدد بین و وجود دارد به طوری که به ازای آن نقطه یعنی ، آنگاه معادله دست کم یک جواب در بازه باز دارد.

گسترش پیوستگی

گاهی دامنه یک تابع را گسترش می‌دهیم تا نقاط پیوستگی بیشتری را در بر گیرد. اگر نقطه‌ای باشد که در آنجا تعریف نشده باشد، ولی




وجود داشته باشد، می‌توانیم را به عنوان مقدار این حد تعریف کنیم و به این ترتیب دامنه پیوستگی را گسترش داده‌ایم. تابع گسترش یافته خود به خود پیوسته است، زیرا وجود دارد و برابر وقتی که است.

پیوستگی در یک بازه

  • تابع در بازه عضو دامنه وقتی پیوسته گوئیم که در هر که در این بازه است پیوسته باشد.

  • تابع را در بازه (a,b] وقتی پیوسته گوئیم که:

  1. در هر در بازه پیوسته باشد.
  2. در پیوستگی راست داشته باشد.

  • تابع را در بازه پیوسته گوئیم هرگاه:

  1. در هر در بازه پیوسته باشد.
  2. در پیوستگی چپ داشته باشد.

 

+ نوشته شده در  چهارشنبه نهم خرداد 1386ساعت 18:11  توسط عبداله احمدی  | 

مشتق پذیری و پیوستگی


فرض کنیم تابعی از x باشد. اگر حد dy/dx=f´ (x) = lim f(x+Δx)-f(x) / Δx وقتی که Δx به سمت صفر میل می کند، موجود و متناهی باشد، این حد را مشتق f در x می‌نامیم و می‌گوییم f در x مشتق پذیر است.

تاریخچه

ریاضیدانان اوایل قرن هیجدهم ویژگیهای توابع پیوسته یا خوش رفتار را به این دلیل مطالعه می‌کردند که نشان دهند اگر یک خم نقاطی در دو طرف یک خط داشته باشد، آن خط و خم مسلما یکدیگر را قطع می‌کنند. ولی در نیمه دوم آن قرن ، مسائلی مطرح شد که با توابع پیچیده‌تر سر و کار داشتند و باعث شدند که ریاضیدانان توجه خود را به ویژگی اساسی پیوستگی معطوف کنند. در سال 1787 ، آکادمی سن پترزبورگ مسابقه‌ای برای نوشتن مقاله‌ای درباره این مسأله که ترتیب داد:

"آیا توابع دلخواهی که با انتگرال گیری از معادلات سه یا چند متغیره بدست می‌آیند هر گونه خم یا رویه ، اعم از جبری ، متعالی ، مکانیکی ، ناپیوسته و حاصل از حرکت آزادانه دست ، را نشان می‌دهند؛ یا اینکه این توابع فقط شامل خمهایی هستند که به سوی یک معادله جبری یا متعالی نشادن داده می‌شوند؟" جایزه این مسابقه را ریاضیدان نسبتا گمنام ال. الف . ای اربوگاست بود. او ویژگیهای بنیادی توابع پیوسته را بیان کرد. این ویژگیها بعدا در آثار بوستانو و آگوستین لویی کوشی دوباره مطرح شد، هر چند این دو نفر اطلاعی از کار بوگاست نداشتند.

مقدمه

تابعهای مشتق پذیر ، پیوسته‌اند. اگر تابعی چون C مشتقپذیر باشد، در این نقطه پیوسته هم هست. یعنی اگر در C دارای مشتق (f´ (c باشد ، آنگاه f در x=C پیوسته است. برای اثبات این مطلب باید نشان دهیم حد وقتی که x به سمت صفر میل می کند برابر می باشد. به هعمیت دلیل اگر مشتق (f´ (c را توسط تعریف مشتق بدست آوریم، زمانی که x ----> C آنگاه مخرج کسر به صفر میل می‌کند. بنابراین اگر قرار باشد حد مذکور متناهی باشد صورت کسر یعنی (f(x) - f(C نیز باید به صفر میل کند و این بدان معنی است که به سمت میل کند و این همان دلیل پیوستگی f می‌باشد.

البته باید توجه داشته باشیم که گر چه مشتقپذیری پیوستگی را ایجاب می‌کند ولی پیوستگی ، مشتق پذیری را ایجاب نمی‌کند. بنابراین نتیجه پیوستگی از روی مشتق پذیری مثل یک جاده یکطرفه است که حرکت در جهت عکس خلاف است، به این معنی که شاید صحیح و سلامت به مقصد برویم ولی این یک شانس خواهد بود. برای مثال تابع قدر مطلق که در x=0 پیوسته است، ولی این تابع در x=0 مشتق ندارد زیرا در این نقطه نمی‌توانیم مماس برای تابع رسم کنیم.

چرا توابع مشتق پذیر ، پیوسته‌اند؟

به نظر شما چه جوابی به این سؤال مهم می‌توان داد؟ بگذارید تعاریف مشتق پذیری و پیوستگی را یک بار دیگر اما این بار شهودی تر بررسی کنیم. ما نمودار تابعی چون f را در بازه (a , b) وقتی هموار می‌گوئیم که در هر نقطه درون این بازه بتوان فقط یک خط مماس بر منحنی نمودار f رسم کرد که موازی محور yها نباشد. از تعریف پیوستگی می‌دانیم که منحنیهای هموار توابعی پیوسته هستند. بنابراین توانستیم با یک بررسی ساده اما دقیق پاسخ این پرسش را بدهیم. پاسخ دیگری که به این سؤال می‌توان داد این است که مشتق دارای ویژگی مقدار میانی است.

اگر f در هر نقطه از یک بازه بسته {a , b} دارای مشتق باشد آنگاه (f´ (x هر مقدار بین (f´ (a و (f´ (b را اختیار می‌کند. توابع پیوسته هم این خاصیت را دارند بطوری که اگر f در هر نقطه از بازه بسته {a , b} پیوسته باشد و N عددی بین (f(a و (f(b باشد ، آنگاه دست کم یک نقطه c بین a , b وجود دارد که در آن نقطه f مقدار N را اختیار می‌کند.

یک تابع در چه نقاطی مشتق پذیر نیست؟

  1. یک تابع در نقطه‌ای چون x0 مشتق پذیر نیست هرگاه در x0 پیوسته نباشد.

  2. تابع f در نقطه‌ای که دو خط مماس بر منحنی f وجود داشته باشد مشتق پذیر نیست. مثل نقاطی که تابع به ازای آنها زاویه دار می‌شود.

  3. در نقاطی که خط مماس محور y ها باشد تابع f در آن نقاط مشتق پذیر نیست.

یک تابع در چه نقاطی پیوسته نیست؟

  1. تابع f در نقطه‌ای چون x0 ، حد نداشته باشد.

  2. تابع f در نقطه‌ای چون x0 حد داشته باشد ولی این حد با مقدار از تابع ، (f(x0 برابر نباشد.

  3. تابع f در نقطه‌ای چون x0 تعریف نشده باشد. هر چند دارای حد باشد با این همه پیوسته نیست.

کاربردها

کاربرد بسیار ارزنده مطالب فوق این است که هرگاه تابع f در بازه بسته {a , b} پیوسته و در بازه با (a , b) هموار باشد، آنگاه تابع f در بازه باز (a , b) مشتق پذیر است.

 

+ نوشته شده در  چهارشنبه نهم خرداد 1386ساعت 18:4  توسط عبداله احمدی  | 

قضیه مقدار میانگین


قضیه مقدار میانگین

 




در حساب دیفرانسیل و انتگرال کمتر قضیه‌ای به اندازه قضیه مقدار میانگین و تعمیمهایش کارساز است و حتی بعضی آن را مهمترین قضیه حساب دیفرانسیل و انتگرال می دانند. صورت این قضیه چنان ساده است که ممکن است در نگاه اول متوجه اهمیت نتایج فراوان آن نشوید. این قضیه، ریاضیان لازم را برای براورد کردن مقدار خطای ناشی از تقریب زدن خطی در اختیار ما می گذارد و بوسیله آن می‌توان آزمون مشتق اول برای صعودی و نزولی بودن را توضیح داد. اولین قدم برای درک این قضیه، دانستن صورت اولیه آن یعنی قضیه رل است.

قضیه رل


شواهد هندسی محکمی در دست است که نشان می‌دهد اگر خم همواری محور x را در دونقطه قطع کند، نقطه‌ای روی خم بین آن دونقطه وجود دارد که در آن مماس بر آن نقطه موازی محور x است. قضیه 300 ساله میشل رلتصویر این اطمینان را به ما می‌دهد.
  • قضیه رل: اگر تابع f در بازه بستهپیوسته و در بازه باز مشتق‌پذیر باشد، و آنگاه نقطه ای چون موجود هست به طوری که:

تصویر

برهان:
بنابر فرض چون f بر بازه پیوسته است بنابر قضیه اکسترمم مطلق، f مقادیر ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق خود را در بازه اختیار می‌کند. حال دو حالت تشخیص می دهیم:
  • اگر a,b به عنوان نقطه اکسترمم مطلق تابع f باشند (یعنی یکی از a یا b نقطه ماکزیمم مطلق و دیگری مینیمم مطلق باشد) چون پس تابع f تابع ثابت0=(f(x است و لذا برای هر نقطه داریم:
  • اگر a,b هیچ کدام نقطه اکسترمم مطلق نباشند، پس نقطه ماکزیمم و مینیمم مطلق f در بازه قرار دارد یعنی نقطه ای چون است که به ازای آن اکسترمم مطلق باشد اما با توجه به تعریف، c یک نقطه اکسترمم نسبی نیز می باشد
(یعنی (f(c اکسترمم نسبی است) و چون بنا به فرض f در c مشتق پذیر است و c اکسترمم نسبی است پس: و به این ترتیب در هر حالت نقطه c مورد نظر وجود دارد و به این ترتیب برهان قضیه کامل می‌شود.

قضیه زیر صورتی کلی‌تر از قضیه فوق را نشان می‌دهد و در واقع بیان می کند در قضیه رُل لزومی ندارد که f در a و b صفر شود و همین قدر که f در دو نقطه a و b یک مقدار ثابت را اختیار کند کافی است.
  • قضیه: هرگاه تابع f بر بازه بسته پیوسته بوده و در بازه مشتق‌پذیر باشد، و ، آنگاه نقطه‌ای چون
وجود دارد که:

تصویر

برهان:
قضیه در حالت k=0 همان قضیه رل خواهد بود که در بالا ذکر شد. در غیر این صورت تابع در بازه پیوسته و در بازه مشق پذیر است و نیز داریم:

و لذا تابع شرایط قضیه رل را داراست بنابراین نقطه‌ای چون موجود است که و حکم برقرار است.
  • توجه داشته باشید که شرط پیوستگی و مشتق‌پذیر بودن در قضیه رل بسیار اساسی و اگر یکی از این دو شرط برقرار نباشد در مورد تابع مورد بوسیله اوین قضیه هیچ گونه اظهار نظری نمی توان کرد.
  • برای اطلاع بیشتر از قضیه رل و کاربردهای آن به مقاله قضیه رل رجوع کنید.

کاربرد قضیه رل

استفاده مهمی که رل از قضیه خود کرد این بود که نشان داد اگر f تابعی باشد که شرایط قضیه رل را داشته باشد آنگاه بین هر دو ریشه آن یک ریشه برای مشتق f وجود دارد. پس قضیه زیر را داریم:
  • قضیه: اگر f در بازه بسته پیوسته و در بازه مشتق‌پذیر باشد آنگاه بین هر دوریشه f در این بازه(در صورت وجود) یک ریشه برای مشتق f وجود دارد.
برهان
فرض می‌کنیم دو ریشه متمایز f در بازه باشند.بی‌آنکه به کلیت اثبات خللی وارد شود فرض می‌کنیمچون f در پیوسته است و پس f در بازه پیوسته و در بازه مشتق‌پذیر است و نیز بنا به فرض داریم پس بنابر قضیه رل نقطه‌ای چون موجود است که ولذا حکم ثابت می‌شود.
  • مثال: نشان دهید هر چندجمله ای از درجه سه حداکثر سه ریشه دارد.
پاسخ: اثبات به برهان خلف است. فرض می‌کنیم تابعی چند جمله‌ای از درجه سه باشد که دارای بیش از سه ریشه است مثلاً دارای حداقل 4 ریشه باشد(فرض خلف) و چهار ریشه آن باشند. در این صورت f در هریک از بازه‌های شرایط قضیه رل را دارد پس در هریک از این بازه‌ها دارای یک ریشه خواهد بود که این نشان می‌دهد دارای حداقل سه ریشه است که این تناقض است. پس فرض خلف باطل و حکم برقرار است.

قضیه مقدار میانگین


حال با دانستن قضیه رل می‌توانیم قدم بعدی را برای بیان قضیه مقدار میانگین برداریم. در حقیقت این قضیه صورتی کلی‌تر ازقضیه رُل را به ما نشان می‌دهد. فرض کنید تابع f که در بالا در مورد آن صحبت کردیم در نقاط a و b ابتدا و انتهای بازه مقادیر مختلفی را اختیار کند. در این صورت دیگر نمی‌توان با قاطعیت گفت که f در نقطه‌ای میانی بازه a و b دارای مماس افقی است اما می‌شود گفت که منحنی f در نقطه‌ای میانی مماسی موازی با وتر واصل بین دو نقطه a و b دارد. این مطلب اساس قضیه مقدار میانگین است.
  • قضیه مقدار میانگین: هرگاه f تابعی پیوسته در بازه و مشتق‌پذیر در بازه باشد، آنگاه نقطه‌ای چون موجود است که:

تصویر

برهان:
تابع را در نظر می‌گیریم که در آن عددی ثابت است. تابع در بازه پوسته و در مشتق‌پذیر است. حال را به گونه ای تعریف می‌کنیم که در این صورت باید داشته باشیم:


پس تابع تابعی است که در بازه در شرایط قضیه رل صدق می کند پس نقطه‌ای چون موجود است که:


و برهان قضیه کامل می شود.
در واقع در اثبات قضیه مقدار میانگین سعی شد تابعی ساخته شود که از آن با استفاده از قضیه رُل بتوانیم به نتیجه مورد نظر برسیم.

قضیه مقدار میانگین به صورت نمو

فرض کنید f در بازه ای شامل مشتق پذیر باشد. در این صورت، نمو f در را می‌توان به شکل:

نوشت که در آن
برهان:
f بر بازه پیوسته و در مشتق‌پذیر است پس بنابر قضیه مقدار میانگین نقطه‌ای چون وجود دارد که:


از طرفی داریم:

پس قرار می دهیم و به این ترتیب:

حال با قرار دادن c در رابطه (*) خواهیم داشت:

و لذا حکم ثابت می‌شود.

به عنوان مثال اگر خواهیم داشت:


مناسب برابر است با چون در این صورت داریم:


چه کسی قضیه مقدار میانگین را اثبات کرد؟

ژوزف لویی لاگرانژتصویر (1736-1813) در سال 1787، در آن هنگام که می کوشید بدون استفاده از مفهوم حد، حساب دیفرانسیل و انتگرال را مورد مطالعه قرار دهد، برای نخستین بار این قضیه مقدار میانگین را اثبات کرد. به همین سسب گاهی به این قضیه قضیه لاگرانژ نیز می گویند.این قضیه مهم را در آثار آمپرتصویر (1775-1836) هم می‌توان یافت. هر چند هرت آمپر به خاطر تحقیقاتی است که در الکتریسیته انجام داد، ولی تحقیقات اولیه وی در زمینه حساب دیفرانسیل و انتگرال بود و او به نقد و تصحیح ایده‌های لاگرانژ در مبادی حساب دیفرانسیل و انتگرال پرداخت. ولی کوشیتصویر بود که در کتاب درسی معروف خود به نام «درس‌های آنالیز» در 1821 و «خلاصه درسهایی در باره حساب بینهایت کوچک‌ها» در سال 1823 تعمیم قضیه مقدار میانگین را به چاپ رسانید، و بدین ترتیب آن را معروف ساخت. در ادامه به قضیه مطرح شده توسط کوشی یعنی قضیه کوشی می پردازیم.

کاربرد قضیه مقدار میانگین

از قضیه مقدار میانگین در اثبات بسیاری از نامساوی‌ها و قضایای مهم، و نیز آزمون مشتق اول برای صعودی و نزولی بودن توابع استفاده می شود. در اینجا به چند مورد از این کاربردها اشاره می کنیم.
  • ثابت کنید اگر تابع f در بازه I مشتق‌پذیر باشد و برای هرداشته باشیمآنگاه به تابع f تابعی ثابت است.
برهان:
فرض می‌کنیم c نقطه‌ای ولخواه و از این پس ثابت از بازه I باشد. پس برای هر x در بازه I بنابر قضیه مقدار میانگین داریم:

که در آن بین c و x قرار دارد و چون x متعلق به I دلخواه اختیار شده بود نتیجه می‌شود برای هر مقدار تابع همواره ثابت است.
  • ثابت کنید برای هر دو عدد حقیقی a و b داریم:
برهان:
بی‌آنکه به کلیت اثبات خللی وارد شود می‌توان فرض کرد a در نظر می‌گیریم. f شرایط قضیه مقدار میانگین را داراست پس نقطه‌ای چون وجود دارد که :


اما پس:

و خلاصه با مطالعه بخش‌های مختلف حساب دیفرانسیل و انتگرال می‌توانید نمونه‌های فراوانی از کاربردهای این قضیه را بیابید.

در آخر قضیه کوشی را معرفی می‌کنیم که تعمیمی مهم از قضیه مقدار میانگین است که مستلزم دو تابع است.

قضیه کوشی


  • قضیه کوشی: هرگاه f و g دو تابع باشند که در بازه بسته پیوسته و در مشتق‌پذیر باشند و به ازائ هرناصفر باشد، آنگاه نقطه‌ای چونهست که:

برهان:
اگر آنگاه بنابر قضیه رل به ازاء ای که با فرض در تناقض است پس و سمت راست تساوی معنی دارد. تابع را که در آن عددی ثابت است را در نظر می‌گیریم و آن را طوری تعریف می کنیم که
در این صورت داریم:

که برای این یافت شدهدر شرایط قضیه رل صدق می‌کند و لذا نقطه ای چونموجود است که:

یعنی:

و برهان حکم کامل می‌شود
+ نوشته شده در  چهارشنبه نهم خرداد 1386ساعت 17:54  توسط عبداله احمدی  | 

انتگرال نامعین

انتگرال نامعین

اگر پاد مشتق باشد ، آنگاه به ازای هر مقدار ثابت یک پاد مشتق است.زیرا اگر آنگاه:

نکته

اگر جوابی برای باشد ، فرمول همه جوابها را به دست می‌دهد.

انتگرال نامعین

مجموعه همه پاد مشتق‌های یک تابع چون را انتگرال نامعین نسبت به می‌نامند و با نشان می‌دهند.
هرگاه فرمول همه پادمشتق‌های را به دست دهد، آنرا چنین مشخص می‌کنیم :

تابع را انتگرال ده انتگرال و را ثابت انتگرال‌گیری می‌نامیم. همچنین نشان می‌دهد که متغیر انتگرال‌گیری است.

خواص انتگرال

  1. انتگرال مشتق یک تابع مشتق‌پذیر برابر است با به علاوه یک ثابت دلخواه.
  2. یک ثابت را می‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.(توجه شود که عباراتی را که توابعی از متغیر انتگرال‌گیری اند ، نمی‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.)
  3. انتگرال مجموع دو تابع برابر مجموع انتگرال‌های آنهاست.این مطلب را میتوان به مجموع هر تعداد متناهی از توابع تعمیم داد.

فرمول های انتگرال گیری



,

,

,

,





در این دستور‌ها یا متغیر مستقل است و یا تابعی مشتق‌پذیر از متغیر مستقل دیگری است.
اگر آنگاه

انتخاب مقدار ثابت انتگرال‌گیری

در حل یک معادله دیفرانسیل مانند معمولا به دنبال جواب خاصی هستیم که شرایط عددی از پیش تعیین شده را برآورده سازد.بدین منظور نخست جواب عمومی را تعیین می‌کنیم که همه جوابهای ممکن را به دست می‌دهد . سپس مقداری از را تعیین می‌کنیم که جواب خاص مطلوب را به دست دهد.
اگر نقطه‌ای چون از دامنه را در نظر بگیریم و مقدار دلخواه را برگزینیم ، می‌توان با قرار دادن و در معادله و حل آن نسبت به جوابی را یافت که از نقطه بگذرد.به این ترتیب داریم یا .
خم خمی است که از می‌گذرد.

انتگرال‌گیری به کمک تغییر متغیر

در حل انتگرال‌ها با روش تغییر متغیر ، به جای تابع پیوسته و مشتق پذیر را قرار می دهیم، یعنی :

بعد از حل ، بر اساس تابع معکوس ، به جای نسبت به قرار می‌دهیم . یعنی:
از فرمول فوق به صورت زیر هم می‌توان استفاده کرد:


انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء

دستور موسوم به انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء است که در آن توابعی مشتق‌پذیر از هستند. اگر انتگرال به صورت حاصلضرب یک تابع لگاریتمی یا یک تابع معکوس مثلثاتی ، در یک چند جمله ای باشد، در این صورت معمولا را تابع لگاریتمی یا تابع معکوس مثلثاتی انتخاب می‌کنند ولی اگر انتگرال حاصلضرب یک تابع لگاریتمی یا یک تابع نمایی در یک تابع جبری باشد ، معمولا تابع جبری را فرض می‌کنند.
+ نوشته شده در  چهارشنبه نهم خرداد 1386ساعت 17:30  توسط عبداله احمدی  | 

انتگرال معین

تازه کردن چاپ 

 

انتگرال معین


دید کلی

برای آنکه بتوانیم مساحت شکل مسطح را حساب کنیم واحدی برای مساحت در نظر می‌گیریم که عبارت است از مساحت مربعی که طول اضلاع آن مساوی واحد می‌باشد. اگر مثلا اینچ را واحد طول گرفته باشیم واحد مساحت نظیر آن عبارت است از اینچ مربع یعنی مساحت مربعی که طول اضلاع آن یک اینچ می‌باشد. بر مبنای این تعریف به آسانی می‌توان مساحت هر مربع مستطیل را حساب کرد.

مفهوم انتگرال معین

اولین مفهوم اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال عبارت از مفهوم انتگرال می‌باشد. در این مبحث انتگرال را به عنوان اندازه مساحت سطحی که در زیر منحنی مفروض قرار گرفته است و به صورت حدی در نظر خواهیم گرفت اگر یک تابع مثبت و اتصالی y= داده شده باشد در این صورت مساحتی را در نظر می‌گیریم که در زیر این منحنی واقع است و از طرف پایین ، قطعه خطی واقع بر محور x ها محدود می‌شود که ما بین دو نقطه به طولهای a ، b و b>a واقع است و از طرفین به دو خط عمود بر محور xها که از این دو نقطه رسم شوند محدود است. هدف ما آن است که مساحت این سطح را که A نامیده می‌شود حساب کنیم.

انتگرال معین

نخست به تعریف مساحت ناحیه محصور بین نمودار یک تابع پیوسته نامنفی مانند و بازه ای از محور مانند می پردازیم.
برای این منظور تا آنجا که می توانیم (طبق شکل 1) بخش هرچه بیشتری از این ناحیه را با مستطیل های محاطی قائم پر می کنیم. مجموع مساحت های مستطیل ها تقریبی است از مساحت ناحیه.هرچه تعداد مستطیل ها بیشتر باشد، تقریب بهتری به دست می آید. بنا به تعریف، مساحت این ناحیه، حد مجموع مساحت های مستطیل هاست وقتی که مستطیل ها کوچک و کوچک تر شوند و تعداد آنها به سوی بی نهایت میل کند.
img/daneshnameh_up/8/8e/ANTEGRAL_MOAYAN1.JPG

حال اگر به جای مستطیل های محاطی، مستطیل های محیطی (مطابق شکل 2) و یا هر نوع دیگری از مستطیل ها که قاعده پایین آن ها بر محور ها منطبق و قاعده بالای آن ها خم را قطع کنند به کار ببریم، دقیقا" همان حد به دست می آید.
این نکته نیز شایان ذکر است که حد مجموع مساحت های این مستطیل ها نه تنها برای توابع پیوسته نا منفی – که بحثمان را با آن ها آغاز کردیم – بلکه برای هر تابع پیوسته ای وجود دارد.
img/daneshnameh_up/c/ca/ANTEGRAL_MOAYAN2.JPG


مجموع انتگرال بالا – مجموع انتگرال پایین

تابع را در نظر می گیریم که در فاصله تعریف شده است. عبارت

را مجموع انتگرال این تابع گویند که در آن :


مجموع را مجموع (انتگرال) بالا و را مجموع (انتگرال) پایین نامند که در آن :



تابع انتگرال پذیر

حد مجموع انتگرال وقتی را انتگرال معین تابع در فاصله گویند.
اگر این حد موجود باشد، تابع را در فاصله انتگرال پذیر گویند.
(نکته : هر تابع پیوسته انتگرال پذیر است.)

محاسبه انتگرال معین با استفاده از دستور نیوتن-لایپنیتز

دستور زیر معروف به دستور نیوتن-لایپنیتز است :

که در آن یک تابع اولیه تابع می باشد یعنی :

مزایای فرمول نیوتن- لایبنیتز

فرمول نیوتن- لابینیتز هنگامیکه یک تابع اولی تابع انتگرال (تابع زیر علامت انتگرال) معلوم باشد یک روش مناسب و عملی برای محاسبه انتگرالهای معین به دست می‌دهند. در حقیقت انتگرال معین فقط زمانی اهمیت کنونی خود را در ریاضیات کسب کرد که این فرمول توسط نیوتن- لایبنیتز کشف شد. اگر چه پیشینیان (ارشمیدس) از یک عمل مشابه‌ای برای محاسبه انتگرال معین به عنوان حد مجموع انتگرال آگاه بودند، کاربردهای این روش منحصر بود به حالتهای بسیار ساده‌ای که حد مجموع انتگرال می‌توانست مستقیما محاسبه شود. فرمول نیوتن- لایبنیتز دامنه کاربردهای انتگرال معین را تا حد زیاد گسترش داد، زیرا ریاضیات یک روش عمومی برای حل مسائل گوناگون خاصی بدست آورد، و بنابراین توانست بطور قابل ملاحظه‌ای حدود کاربردهای انتگرال معین را در صنعت ، مکانیک ، نجوم و غیره توسعه دهد.

تخمین یک انتگرال معین

1. اگر در فاصله داشته باشیم آنگاه :

و بویژه :

2. اگر کوچکترین و بزرگترین مقدار تابع در فاصله باشد، آنگاه :

3.قضیه مقدار میانگین : اگر تابع در فاصله پیوسته باشد، آنگاه :

4. تعمیم قضیه مقدار میانگین : اگر توابع و در فاصله پیوسته باشند و همچنین علامت در این فاصله ثابت بماند، آنگاه :

5.به ازای هر از نقاط پیوستگی تابع داریم :



تغییر متغیر در انتگرال معین

اگر تابع در شرایط زیر صدق کند :
الف. در فاصله ، تابعی پیوسته و یک مقداری بوده و در این فاصله نیز پیوسته باشد.
ب. اگر در فاصله تغییر نماید، مقادیر تابع از فاصله خارج نشود.
ج. و
آنگاه دستور تغییر متغییر در انتگرال معین برای هر تابع پیوسته در فاصله بصورت زیر اعمال می شود :
+ نوشته شده در  چهارشنبه نهم خرداد 1386ساعت 17:22  توسط عبداله احمدی  | 

محاسبه انتگرال به روش سیمپسون

محاسبه انتگرال به روش سیمپسون

تازه کردن  



در محاسبات علمی، به ندرت انتگرال معین از روش های یافتن تابع اولیه محاسبه می شود هر چند که این روش ها ممکن است برای یافتن فرمول های مناسب مفید واقع شوند. دو دلیل ساده برای این امر وجود دارد، یکی اینکه بسیاری از تابع های اولیه را نمی توان به حسب تابع های شناخته شده بیان کرد و دوم اینکه حتی در صورت دست یافتن به یک عبارت شناخته شده این عبارت خود بدون تقویت قابل استفاده نیست. خوشبختانه روش های بسیار موثر و عملی برای محاسبه تقریبی انتگرال معین وجود دارد که به دقت مورد نیاز قابل بهره گیری هستند و نرم افزارهای متعددی نیز به این منظور فراهم شده است. روش های تقریب بر دورکن اصلی تکیه دارند:

img/daneshnameh_up/0/01/simp3.gif



1.افزار بازه انتگرال گیری به زیر بازه های کوچکتر
2.جایگزینی تابع هر بازه کوچکتر با یک تابع که انتگرال آن به سادگی قابل محاسبه است مانند یک تابع ثابت یا یک چند جمله ای.

روشن است که این ایده رابطه نزدیکی با خود تعریف انتگرال معین دارد.
در آنالیز عددی روش سیمپسون،یکی از روشهای تقریب مقدار انتگرال است.

پایه

ما در روش سیمپسون می خواهیم تقریب را با استفاده از چند جمله ای درجه دوم بدست آرویم در این روش نقطه وسط بازه است. ما می توانیم با استفاده از تقریب چند جمله ای لاگرانژ این تقریب را بدست آوریم:





روش سیمپسون برای محاسبه انتگرال از روش ساده زیر استفاده می کند:



مقدار خطا در این روش برابر خواهد بود. که در آن مقداری بین a ، b است.


روش

دیدیم که روش سیمپسون یک تقریب کافی از انتگرال را در صورتی که بازه انتگرال گیری کوچک به ما می دهد. اما در اغلب اوقات بازه انتگرال گیری کوچک نیست در این حالت مجبوریم بازه را به زیر بازه های کوچکتری تقسیم کنیم در این حالت ما روش سیمپسون را در زیر بازه ها به کار برده و نتایج را با هم جمع می کنیم. این روش را روش سیمپسون مرکب می گویند.



وقتی که n تعداد زیربازه های باشد و طول هر یک از زیر بازه ها باشد و داشته باشیم:


که در آن می باشد. و همچنین و
حال می توانیم بنویسیم:




در این حالت بیشترین مقدار خطا برابر خواهد بود با:

 
+ نوشته شده در  چهارشنبه نهم خرداد 1386ساعت 16:44  توسط عبداله احمدی  | 

جدول انتگرالها

جدول انتگرالها

تازه کردن چاپ 


انتگرال گیری یکی از دو عامل اساسی در حسابان میباشد و از آنجائیکه برخلاف مشتق گیری، غیر-جزیی می باشد، جداول انتگرالهای شناخته شده اغلب مفید می باشند. این صفحه عمل معکوس مشتق گیری های معمول را فهرست نموده است؛ یک فهرست کاملتر را میتوانید در فهرست انتگرالها)) بیابید.

ما از C برای یک مقدار ثابت دلخواه در انتگرال گیری استفاده مینماییم، که در صورتی قابل تعیین خواهد بود که اطلاعی از مقدار انتگرال در نقطه‌ای داشته باشیم. لذا هر تابع تعداد نامحدودی انتگرال دارد.

:
:

:

:
:

:
:
:

:
:
:
:
:
:

:
:
:
:

:
:
:
:
:
:

این معادلات صرفا در شکل دیگری در جدول مشتقات بیان شده‌اند.


انتگرالهای معین


توابعی وجود دارند که عمل معکوس مشتق گیری را برای آن توابع نمی توان در شکل بسته نمایش داد. بهرحال، مقادیر انتگرالهای محدود این گونه توابع را میتوان در فاصله های متعارف محاسبه نمود. ذیلا، تعداد کمی از انتگرالهای محدود ارائه شده‌اند.

:
:
:
:
:



 
 
+ نوشته شده در  سه شنبه یکم خرداد 1386ساعت 17:1  توسط عبداله احمدی  | 

تابع لگاریتم

تابع لگاریتم

تازه کردن چاپ 

مقدمه

در جبر عموما لگاریتم معمولی یا لگاریتم در پایه 10 عدد b را توانی تعریف می‌کنند که 10 باید به آن برسد تا b بدست آید: . فرض کنیم چنین عددی موجود بوده و از لگاریتم‌ها برای ساده‌کردن ضرب اعدادی که ارقام اعشاری زیادی دارند استفاده می‌کنیم.

تعریف

تابع لگاریتم طبیعی بصورت زیر نمایش داده می‌شود:



به ازای هر x بزرگتر از 1 ، این انتگرال مساحت ناحیه‌ای را نشان می‌دهد که از بالا به خم از پایین به محور t از طرف چپ به خط t=1 ، و از طرف راست به خط t=x محدود است.

تاریخچه

در اواخر قرن شانزدهم یک بارون اسکاتلندی به نام جان نپر (1550-1617) ابزاری بنام لگاریتم ابداع کرد که با تبدیل ضرب به جمع کار محاسبه را ساده می‌کند؛ یعنی داریم:


لگاریتم x + لگاریتم a = لگاریتم ax

برای ضرب دو عدد مثبت x,a از یک جدول ، لگاریتم‌های x,a را پیدا می‌کنیم، سپس این لگاریتم‌ها را بهم می‌افزائیم مجموع حاصل را در داخل جدول می‌یابیم، و بالاخره حاصلضرب مطلوب ax را از حاشیه جدول می‌خوانیم. مسلما در دست داشتن جدول کلید کار بود، به همین سبب نپر در دو دهه آخر زندگی‌اش را صرف تهیه جدولی کرد که هیچگاه نتوانست آن را تمام کند. و این در حالی بود که تیکو براهه ستاره شناس ، مشتاقانه در انتظار این جدول بود تا می‌تواند محاسبات خودش را تسریع بخشد

مشتق تابع لگاریتم طبیعی

چون تابع با انتگرال ذکر شده در قسمت تعریف ، تعریف می‌شود، فورا از نخستین قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال نتیجه می‌شود که مشتق تابع برابر خواهد بود. بنابراین اگر u تابع مشتقپذیری از x باشد، آنگاه از قاعده زنجیری داریم:



فرمول کلیتر زیر بدست می‌آید:



مشتقگیری لگاریتمی

گاهی یک تابع با معادله‌ای پیچیده داده شده با گرفتن لگاریتم از طرفین آن پیش از مشتقگیری می‌توان مشتقش را سریع‌تر حساب کرد.

خواص

  1. قلمرو: مجموعه تمام اعداد حقیقی مثبت ، x>0
  2. برد: مجموعه تمام اعداد حقیقی
  3. این تابع بر قلمرو خود پیوسته و صعودی است هر گاه آنگاه . این تابع یک تابع یک‌به‌یک از قلمرو خود به بردش است، بنابراین دارای معکوس است.

  4. حاصلضرب ، خارج قسمت و توان: هر گاه x,a دو عدد مثبت باشند. آنگاه:




معکوس تابع لگاریتم

چون یک‌به‌یک و مشتقپذیر است، دارای معکوس مشتقپذیر می‌باشد نمودار منعکس نمودار تابع نسبت به خط y=x است. این نمودار تابع نیز می‌باشد. تابع به ازای هر عدد حقیقی x مساوی می‌باشد. تابع حاصل تابع مشتق پذیری از x است که به ازای هر x حقیقی تعریف شده است و بعنوان تابع نمایی از آن یاد می‌شود که e را پایه و x نما خوانده می‌شود. همچنین توجه می‌کنیم که حد تابع نمایی زمانی که x بسمت بی‌نهایت میل می‌کند برابر بی‌نهایت است و زمانی که x بسمت منفی بی‌نهایت میل می‌کند این حد برابر صفر می‌شود.

معادلات شامل

چون این دو تابع معکوس یکدیگرند، به ازای هر داریم:
و به ازای هر x:

تابع میزان‌های نسبی رشد توابع

تعریف

وقتی a عدد مثبتی غیر از یک باشد. تابع مشتق‌پذیر و یک‌به‌یک است. لذا معکوس مشتقپذیر دارد که ما آن را لگاریتم x در پایه a نامیده و با نشان می‌دهیم.
چون دو تابع ذکر شده در قسمت معکوس یکدیگرند بنابراین ترکیب آنها با هر ترتیبی تابع همانی می‌شود.
توجه می‌کنیم که لگاریتم x نمایی است که وقتی پایه به این نما می‌رسد x بدست می‌آید.

محاسبه

عدد را همیشه می‌توان از لگاریتم‌های طبیعی x,a با فرمول زیر حساب کرد:



خواص

خواص زیر مشابه خواص است و به آنی بدست می‌آید:





تبصره در باب نمادگذاری

در بسیاری از کتب پیشرفته و مقالات تحقیقی در ریاضی از ، بدون ذکر پایه برای نمایش طبیعی استفاده شده است. در بسیاری از کتب علوم طبیعی برای نمایش بکار رفته است. لگاریتم در پایه 10 اغلب لگاریتم معمولی نامیده می‌شوند.

کاربردها

ابداع لگاریتم در قرن شانزدهم و هفدهم بزرگترین پیشرفت در حساب بوده است و قبل از اختراع کامپیوتر از مهم‌ترین ابداعات بحساب می‌آید. لگاریتم‌ها حساب دریانوردی را سامان بخشید. کاربرد آن را در علوم و مهندسی و همچنین نجوم نباید انکار کرد. بدین ترتیب که محاسبات اعشاری در نجوم ، دریانوردی و مثلثات را ممکن ساخت.


  • لگاریتم‌های معمولی اغلب در فرمول‌های علمی بکار می‌روند مثلا: شدت زلزله بر حسب ریشتر توسط فرمول زیر بدست می‌آید:

اندازه R

که در آن a دامنه حرکت زمین به میکرون در ایستگاه گیرنده و T دوره تناوب موج زلزله به ثانیه و B عاملی تجربی است که با افزایش فاصله از مرکز زلزله موجب تضعیف موج زلزله می‌شود.
  • یکی دیگر از موارد استعمال لگاریتم‌های معمولی عبارتند از واحد دسیبل برای سنجش شدت صوت.
  • اندازه‌گیری واحد PH برای سنجش اسیدی بودن.

 

+ نوشته شده در  سه شنبه بیست و پنجم اردیبهشت 1386ساعت 17:39  توسط عبداله احمدی  | 

تابع همانی

تابع همانی

تازه کردن چاپ 

تابع همانی:
می دانیم یک رابطه همانی روی مجموعه A رابطه ای است که برای هر عضو از مجموعه A چون a تنها شامل زوج مرتب باشد و هیچ زوج مرتبی با مولفه های متمایز نداشته باشد. این رابطه را به این صورت تعریف می کنیم:

این رابطه روی مجموعه A یک تابع است که به آن تابع همانی می گوییم. این تابع هر عضو از دامنه خود را به خودش متناظر می کند. اگر f تابعی همانی از مجموعه A در A باشد، آن را به این صورت تعریف می کنیم:

پس ضابطه تابع همانی به این صورت است:

اثبات تابع بودن رابطه همانی:
اگر f رابطه همانی روی مجموعه A به صورت مقابل باشد: برای اثبات تابع بودن این رابطه کافی است نشان دهیم:

واضح است که:

پس این رابطه تابع است.
  • از آنجا که معمولا در حساب دیفرانسیل و انتگرال با اعداد حقیقی و توابع حقیقی کار می کنیم معمولا تعریف زیر را برای تابع همانی استفاده می کنیم:
تابع را با ضابطه تابع همانی می گوییم.
نمودار این تابع بسته به دامنه تابع می تواند نیمساز ربع اول و سوم یا قسمتی از آن باشد.
اگر دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی باشد نمودار این تابع نیمساز ربع اول و سوم خواهد بود که در زیر نمودار آن را مشاهده می کنید:
تصویر

  • بررسی ویژگی های تابع همانی:

  • تابع همانی تابعی است که معکوس آن با خودش برابر است.
برهان: کافی است نشان دهیم اگر آنگاه برای اثبات از روش یافتن وارون(معکوس) تابع استفاده می کنیم:

مشاهدی می شود معکوس این تابع با خودش برابر است.
این مطلب از نظر هندسی هم واضح است چرا که می دانیم برای یافتن نمودار معکوس تابع می توان نمودار آن تابع را نسبت به نیمساز ربع اول و سوم قرینه نمود، حال آنکه قرینه تابع همانی نسبت به نیمساز ربع اول و سوم همان نیمساز ربع اول و سوم(خود تابع) است که نشان می دهد معکوس این تابع با خودش برابر است.

  • تابع همانی تابعی فرد است.
برهان: باید نشان دهیم
داریم:

همچنین نمودار این تابع نسبت به مبدا مختصات متقارن است که دلیل بر فرد بودن این تابع است.

  • تابع همانی تابعی یک به یک و پوشا است پس می توان گفت این تابع یک تابع دو سویی(تناظر یک به یک) است.
برهان: ابتدا نشان می دهیم این تابع، تابع یک به یک است:
به این منظور باید نشان دهیم:

اگر باشد طبق تعریف داریم: و از این عبارت نتیجه می شود که: . پس رابطه همانی یک تابع یک به یک است.
حال نشان می دهیم این تابع پوشا است یعنی برای هر عضو در برد تابع عضوی متناظر در دامنه وجود دارد که آن عضو در دامنه به آن عضو در برد نظیر می شود. با توجه به اینکه برد و دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی است باید نشان دهیم:


و چون دامنه و برد این تابع برابر است می توان گفت x یافت شده (برای هر y) در دامنه وجود دارد. پس تابع پوشا است.
حال چون تابع همانی هم یک به یک و هم پوشا است می توان گفت این تابع دو سویی است.

  • یادآودی: تابع f را دوسویی با تناظر یک به یک می گوییم هرگاه یک به یک و پوشا باشد.

+ نوشته شده در  سه شنبه بیست و پنجم اردیبهشت 1386ساعت 17:37  توسط عبداله احمدی  | 

تابع همانی

تابع همانی

تازه کردن چاپ 

تابع همانی:
می دانیم یک رابطه همانی روی مجموعه A رابطه ای است که برای هر عضو از مجموعه A چون a تنها شامل زوج مرتب باشد و هیچ زوج مرتبی با مولفه های متمایز نداشته باشد. این رابطه را به این صورت تعریف می کنیم:

این رابطه روی مجموعه A یک تابع است که به آن تابع همانی می گوییم. این تابع هر عضو از دامنه خود را به خودش متناظر می کند. اگر f تابعی همانی از مجموعه A در A باشد، آن را به این صورت تعریف می کنیم:

پس ضابطه تابع همانی به این صورت است:

اثبات تابع بودن رابطه همانی:
اگر f رابطه همانی روی مجموعه A به صورت مقابل باشد: برای اثبات تابع بودن این رابطه کافی است نشان دهیم:

واضح است که:

پس این رابطه تابع است.
  • از آنجا که معمولا در حساب دیفرانسیل و انتگرال با اعداد حقیقی و توابع حقیقی کار می کنیم معمولا تعریف زیر را برای تابع همانی استفاده می کنیم:
تابع را با ضابطه تابع همانی می گوییم.
نمودار این تابع بسته به دامنه تابع می تواند نیمساز ربع اول و سوم یا قسمتی از آن باشد.
اگر دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی باشد نمودار این تابع نیمساز ربع اول و سوم خواهد بود که در زیر نمودار آن را مشاهده می کنید:
تصویر

  • بررسی ویژگی های تابع همانی:

  • تابع همانی تابعی است که معکوس آن با خودش برابر است.
برهان: کافی است نشان دهیم اگر آنگاه برای اثبات از روش یافتن وارون(معکوس) تابع استفاده می کنیم:

مشاهدی می شود معکوس این تابع با خودش برابر است.
این مطلب از نظر هندسی هم واضح است چرا که می دانیم برای یافتن نمودار معکوس تابع می توان نمودار آن تابع را نسبت به نیمساز ربع اول و سوم قرینه نمود، حال آنکه قرینه تابع همانی نسبت به نیمساز ربع اول و سوم همان نیمساز ربع اول و سوم(خود تابع) است که نشان می دهد معکوس این تابع با خودش برابر است.

  • تابع همانی تابعی فرد است.
برهان: باید نشان دهیم
داریم:

همچنین نمودار این تابع نسبت به مبدا مختصات متقارن است که دلیل بر فرد بودن این تابع است.

  • تابع همانی تابعی یک به یک و پوشا است پس می توان گفت این تابع یک تابع دو سویی(تناظر یک به یک) است.
برهان: ابتدا نشان می دهیم این تابع، تابع یک به یک است:
به این منظور باید نشان دهیم:

اگر باشد طبق تعریف داریم: و از این عبارت نتیجه می شود که: . پس رابطه همانی یک تابع یک به یک است.
حال نشان می دهیم این تابع پوشا است یعنی برای هر عضو در برد تابع عضوی متناظر در دامنه وجود دارد که آن عضو در دامنه به آن عضو در برد نظیر می شود. با توجه به اینکه برد و دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی است باید نشان دهیم:


و چون دامنه و برد این تابع برابر است می توان گفت x یافت شده (برای هر y) در دامنه وجود دارد. پس تابع پوشا است.
حال چون تابع همانی هم یک به یک و هم پوشا است می توان گفت این تابع دو سویی است.

  • یادآودی: تابع f را دوسویی با تناظر یک به یک می گوییم هرگاه یک به یک و پوشا باشد.

+ نوشته شده در  سه شنبه بیست و پنجم اردیبهشت 1386ساعت 17:37  توسط عبداله احمدی  | 

تابع

تابع

 

 
قسمتی از نمودار یک تابع. هر عدد x در عبارت f(x) = x3 - x قرار می‌گیرد.
قسمتی از نمودار یک تابع. هر عدد x در عبارت f(x) = x3 - x قرار می‌گیرد.

در ریاضیات، یک تابع رابطه‌ای است که هر متغیر دریافتی خود را فقط به یک خروجی نسبت می‌دهد. علامت استاندارد خروجی یک تابع f به همراه ورودی آن، x می‌باشد یعنیf(x)\,. به مجموعه ورودی‌هایی که یک تابع می‌تواند داشته باشد دامنه و به مجموعه خروجی‌هایی که تابع می‌دهد برد می‌گویند.

برای مثال عبارت f(x) = x2 نشان دهنده یک تابع است، که در آن f مقدار x را دریافت می‌کند و x2 را می‌دهد. در این صورت برای ورودی 3 مقدار 9 به دست می‌آید. برای مثال، برای یک مقدار تعریف شده در تابع f می‌توانیم بنویسیم، f(4) = 16.

معمولاً در تمارین ریاضی برای معرفی کردن یک تابع از کلمه f استفاده می‌کنیم و در پاراگراف بعد تعریف تابع یعنی f(x) = 2x+1 را می‌نویسم و سپس f(4) = 9. وقتی که نامی برای تابع نیاز نباشد اغلب از عبارت y=x2 استفاده می‌شود.

وقتی که یک تابع را تعریف می‌کنیم، می‌توانیم خودمان نامی به آن بدهیم، برای مثال:

\mathrm{Square}(x)\, =\, x^2.

یکی از خواص تابع این است که برای هر مقدار باید یک جواب وجود داشته باشد، برای مثال عبارت:

\mathrm{Root}(x) = \pm \sqrt x

یک تابع نمی‌باشد، زیرا ممکن است برای یک مقدار دو جواب وجود داشته باشد. جذر عدد 9 برابر 3 است و در این رابطه اعداد +3 و -3 به دست می‌آیند. برای ساختن یک تابع ریشه دوم، باید فقط یک جواب برای آن وجود داشته باشد، یعنی:

\mathrm{Posroot}(x) = \sqrt x,

که برای هر متغیر غیرمنفی یک جواب غیرمنفی وجود دارد.

در یک تابع لزومی ندارد که حتماً بر روی عدد علمیاتی انجام گیرد. یک مثال که نشان می‌دهد که عملیاتی بر روی عدد انجام نمی‌شود، تابعی است که پایتخت یک کشور را معین می‌کند. مثلاً Capital(France) = Paris.

حال کمی دقیق‌تر می‌شویم اما هنوز از مثال‌های خودمانی استفاده می‌کنیم. A و B دو مجموعه هستند. یک تابع از A به B با به هم پیوستن مقادیر منحصر به فرد درون A معین می‌شود و مجموعه B به دست می‌آید. به مجموعه A دامنه تابع می‌گویند؛ مجموعه B هم تمام مقادیری را که تابع می‌تواند داشته باشد شامل می‌شود.

در بیشتر زمینه‌های ریاضی، اصطلاحات تبدیل و نگاشت معمولاً با تابع هم معنی پنداشته می‌شوند. در هر حال ممکن است که در بعضی زمینه‌های خصوصیات دیگری داشته باشند. برای مثال در هندسه، یک نگاشت گاهی اوقات یک تابع پیوسته تعریف می‌شود.

 

تعاریف ریاضی یک تابع

یک تابع f یک رابطه دوتایی است، به طوری که برای هر x یک و فقط یک y وجود داشته باشد تا x را به y رابطه دهد. مقدار تعریف شده و منحصر به فرد y با عبارت (f(x نشان داده می‌شود.

به دلیل اینکه دو تعریف برای رابطه دوتایی استفاده می‌شود، ما هم از دوتعریف برای تابع استفاده می‌کنیم.

تعریف اول

تعریف ساده رابطه دوتایی عبارتست از: «یک رابطه دوتایی یک زوج مرتب می‌باشد». در این تعریف اگر رابطه دوتایی دلالت بر «کوچکتر از» داشته باشد آن گاه شامل زوج مرتب‌هایی مانند (2, 5) است، چون 2 از 5 کوچکتر است.

یک تابع مجموعه‌ای از زوج مرتب‌ها است به طوری که اگر (a,b) و (a,c) عضوی از این مجموعه باشند آن گاه b با c برابر باشد. در این صورن تابع مجذور شامل زوج (3, 9) است. رابطه جذر یک تابع نمی‌باشد زیرا این رابطه شامل زوج‌های (9, 3) و (9, -3) است و در این صورت 3 با -3 برابر نیست.

دامنه تابع مجموعه مقادیر x یعنی مختص‌های اول زوج‌های رابطه مورد نظر است. اگر x در دامنه تابع نباشد آن گاه (f(x هم تعریف نشده‌است.

برد تابع مجموعه مقادیر y یعنی مختص‌های دوم زوج‌های رابطه مورد نظر است.

 تعریف دوم

بعضی از نویسندگان نیاز به تعریفی دارند که فقط از زوج‌های مرتب استفاده نکند بلکه از دامنه و برد در تعریف استفاده شود. این گونه نویسندگان به جای تعریف زوج مرتب از سه‌تایی مرتب (X,Y,G) استفاده می‌کنند، که در آن X و Y مجموعه هستند (که به آنها دامنه و برد رابطه می‌گوییم) و G هم زیرمجموعه‌ای از حاصل‌ضرب دکارتی X و Y است (که به آن گراف رابطه می‌گویند). در این صورت تابع رابطه دوتایی است که در آن مقادیر X فقط یک بار در اولین مختص مقادیر G اتفاق می‌افتد. در این تعریف تابع دارای برد منحصر به فرد است؛ این خاصیت در تعریف نخست وجود نداشت.

شکل تعریف تابع بستگی به مبحث مورد نظر دارد، برای مثال تعریف یک تابع پوشا بدون مشخص کردن برد آن امکان‌ناپذیر است.

 پیشینه تابع

«تابع»، به عنوان تعریفی در ریاضیات، توسط گاتفرید لایبنیز در سال 1694، با هدف توصیف یک کمیت در رابطه با یک منحنی به وجود آمد، مانند شیب یک نمودار در یک نقطه خاص. امروزه به توابعی که توسط لایبنیز تعریف شدند، توابع مشتق‌پذیر می‌گوییم، اغلب افراد این توابع در هنگام آموختن ریاضی با این گونه توابع برمی خورند. در این گونه توابع افراد می‌توانند در مورد حد و مشتق صحبت کنند. چنین توابعی پایه حسابان را می‌سازند.

واژه تابع بعدها توسط لئونارد اویلر در قرن هجدهم، برای توصیف یک عبارت یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند f(x) = sin(x) + x3.

در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرموله کردن تمام شاخه‌های ریاضی کردند. ویرسترس بیشتر خواهان به وجود آمدن حسابان در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.

در ابتدا، ایده تابع ترجیحاً محدود شد. برای ژوزف فوریه مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی می‌کنند در حالی که امروزه هیچ ریاضی‌دانی این مطلب را قبول ندارد. با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعه «عجایب» در ریاضی بپردازند از جمله این که یک تابع پیوسته در هیچ مکان گسستنی نیست. این توابع در ابتدا بیان نظریه‌هایی از روی کنجکاوی فرض می‌شد و آنها از این توابع برای خود یک «غول» ساخته بودند و این امر تا قرن بیستم ادامه داشت.

تا انتهای قرن نوزدهم ریاضی‌دانان سعی کردند که مباحث ریاضی را با استفاده از نظریه مجموعه فرموله کنند و آنها در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که از مجموعه استفاده کند. دیریکله و لوباچوسکی هر یک به طور مستقل و تصادفاً هم زمان تعریف «رسمی» از تابع دادند.

در این تعریف، یک تابع حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویه منحصر به فرد وجود دارد.

تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به طور گسترده‌تر در منطق و علم تئوری رایانه مطالعه می‌شود.

 توابع در سایر علوم

توابع مورد استفاده در اکثر علوم کمی می‌باشند، برای مثال در فیزیک، هنگامی که می‌خواهیم رابطه بین چند متغیر را بیان کنیم، مخصوصاً در زمانی که مقدار یک متغیر کاملاً وابسته به متغیر دیگر است. برای مثال وقتی که می‌خواهیم نشان دهیم که تغییر دمای آب چه تاثیری بر روی چگالی آن می‌گذارد.

توابع را همچنین مورد استفاده در علم رایانه برای مدل‌سازی ساختمان داده‌ها و تاثیرات الگوریتم می‌بینیم. این کلمه در رویه‌ها و زیرروال‌ها بسیار دیده می‌شود.

 اصطلاحات توابع

به یک مقدار ورودی مشخص در یک تابع، آرگومان تابع می‌گویند. برای هر آرگومان x، مقدار منحصر به فرد y در مجموعه اعداد برد تابع وجود دارد که با آن مطابقت می‌کند، و به آن مقدار در x یا تصویر x تحت f می‌گویند. تصویر x می‌تواند با (f(x و یا y نشان داده شود.

گراف تابع f مجموعه تمام زوج مرتب‌های ((x, f(x) به ازای تمام xهای درون دامنه X است. اگر X و Y زیرمجموعه‌هایی از R (اعداد حقیقی) باشند، در این صورت این تعریف مانند شهود «گراف» به عنوان یک تصویر یا نمودار تابع به همراه زوج مرتب‌های نقاط در محور مختصات است.

مفهوم تصویر را می‌توان اتصال مجموعه‌ای از نقاط تصویر به هم دانست. اگر A زیرمجموعه‌ای دامنه باشد، آن گاه (f(A هم زیرمجموعه‌ای از برد است که شامل تمام تصویرهای‌های مقادیر A می‌شود. در این صورت می‌گوییم که (f(A تصویر A تحت f است.

به یاد داشته باشید که برد f همان تصویر (f(X در مقادیر دامنه‌است و برد f زیرمجموعه‌ای از مجموعه تمام مقادیر ممکن برای f است.

وارون (یا معکوس) مجموعه B که مجموعه مقایر ممکن برای Y تحت تابع f است زیرمجموعه‌ای از دامنه X است که به این صورت تعریف می‌شود:

f −1(B) = {x in X | f(x) is in B}

برای مثال، وارون مجموعه {4, 9} تحت تابع مربع مجموعه {−3,−2,+2,+3} است.

به طور کلی، وارون یک نقطه منحصر به فرد (نقطه‌ای که فقط یک مقدار برای آن وجود داشته باشد)، می‌تواند مجموعه تمام اعداد را دربرگیرد. برای مثال اگر f(x) = 7 باشد، آن گاه وارون {5} تهی است اما وارون {7} برابر مقادیر دامنه آن است. در این صورت وارون یک مقدار در برد زیرمجموعه‌ای از دامنه آن است. طبق قرارداد وارون یک مقدار یعنی f −1(b) ویا همان f −1({b}) به صورت زیر است:

f −1(b) = {x in X | f(x) = b}

مهمترین توابع عبارتند از:

  • تابع یک‌به‌یک، که در آن این خاصیت وجود دارد که اگر f(a) = f(b) باشد آن گاه a هم باید با b برابر باشد.
  • تابع پوشا، که در آن این خاصیت وجود دارد که برای هر y در برد، یک مقدار x در دامنه وجود داشته باشد یعنی f(x) = y.
  • توابعی که هم یک‌به‌یک و هم پوشا هستند.

اگر از تعریف اول تابع که در بالا گفته شد استفاده شود، تا موقعی که برد تعریف نشده باشد، «یک‌به‌یک» بودن تابع باید وضعیتی مانند پوشا بودن را داشته باشد. می‌توان از ترکیب دو یا چند تابع به عنوان یک تابع استفاده کرد. برای مثال، f(x) = sin(x2) ترکیب یک تابع سینوسی و یک تابع درجه دو است. توابع fX → Y و gY → Z می‌توانند با هم ترکیب شوند، به طوری که ابتدا این عمل بر روی تابع f انجام شود و y = f(x) به دست آید و یک بار هم بر روی g اعمال شود و z = g(y) به دست آید. تابع مرکب g و f به صورت زیر نوشته می‌شود:

g\circ f\colon X \to Z \,\! x \mapsto g(f(x)) \,\!

ابتدا تابع سمت راست عملیات را انجام می‌دهد و سپس تابع سمت چپ (برعکس زبان انگلیسی) و این تابع را «جی‌اُاِف» می‌خوانیم.

در تعریفی غیرعلمی، تابع وارون f تابعی است که اثر تابع f را خنثی کند، به این صورت که هر مقدار (f(x را به آرگومان x نسبت دهد. تابع مربع (درجه دو) وارون تابع غیرمنفی جذر (ریشه دوم) است، به طوری که اگر f دارای دامنه X و برد Y و گراف G باشد، آن گاه وارون آن دارای دامنه Y و برد X و گراف است.

G−1 = { (y, x) : (x, y) ∈ G }

برای مثال اگر گراف f برابر G = {(1,5), (2,4), (3,5)} باشد، آن گاه گراف f−1 برابر G−1 = {(5,1), (4,2), (5,3)} می‌شود.

رابطه f−1 یک تابع است اگر و تنها اگر برای هر y در برد فقط یک آرگومان x مانند f(x) = y وجود داشته باشد، به عبارت دیگر، وارون تابع f یک تابع است اگر و تنها اگر f پوشا و یک‌به‌یک باشد. در این مثال، برای هر x درون X f−1(f(x)) = x و برای هر y درون Y f(f−1(y)) = y است. گاهی اوقات می‌توان یک تابع را تغییر داد و این کار اغلب با جایگذاری دامنه‌ای جدید که زیرمجموعه‌ای از دامنه قبلی باشد صورت می‌گیرد، و همینطور باید تغییرات را در برد و گراف اعمال کرد که در این صورت تابع تغییر داده شده دارای وارونی است که خود یک تابع است.

برای مثال وارون تابع y = sin(x)، یعنی f(x) = arcsin (x)، به صورت y = arcsin (x) تعریف می‌شود اگر و تنها اگر x = sin(y) باشد، و این یک تابع نیست زیرا گراف آن شامل دو زوج مرتب (0, 0) و (0, 2π) است. اما اگر دامنه y = sin(x) را به −π/2 ≤ x ≤ π/2 تغییر دهیم، برای برد داریم −1 ≤ y ≤ 1 و در این صورت وارون تابع مورد نظر یک تابع است، و برای بیان آن از A در حرف اول آن استفاده می‌کنیم، یعنی (f(x) = Arcsin (x.

اما این روش برای همه توابع عملی نیست، زیرا در بعضی موارد پیدا کردن وارون توابع غیرممکن است.

 مشخص کردن تابع

اگر دامنه X تعریف شده باشد، تابع f را می‌توان با جدول‌بندی کردن آرگومان‌های x و جواب آنها در f(x) تعریف کرد.

چیزی که برای تعریف کردن تابع رایج‌تر است استفاده از فرمول و به طور کلی استفاده از الگوریتم است، که در آن نشان داده می‌شود چه عملیاتی باید بر روی xهای دامنه انجام گیرد تا f(x) به دست آید. برای تعریف یک تابع می‌توان از عمل ریاضی که با آرگومان x رابطه‌ای داشته باشد استفاده کرد. البته راه‌های زیاد دیگری برای تعریف یک تابع وجود دارد؛ از جمله استفاده از روش بازگشتی، استفاده از بسط‌های تجزیه و عبارات جبری، حدها، دنباله‌ها، سری‌ها و استفاده از معادلات دیفرانسیل.

در ریاضیات توابع زیادی وجود دارد که نمی‌توانند مفهوم خود را به طور دقیق برسانند. یکی از نتایج اصلی نظریه شمارش این است که توابع زیادی وجود دارند که تعریف می‌شوند اما قابل محاسبه نیستند.

 علامت تابع

معمولاً پرانتزهای کنار آرگومان را هنگامی که برای آن ابهامی وجود ندارد حذف می‌کنند، مانند: sin x. در برخی موارد علمی، از علامت نشان‌گذاری لهستانی معکوس استفاده می‌شود، که با این کار باید پرانتزها را حذف کرد؛ و برای مثال تابع فاکتوریل همواره به صورت n! نوشته می‌شود، در حالی که اکثر افراد تابع گاما را به صورت (Γ(n می‌نویسند.

برای نشان دادن یک تابع ابتدا نام آن را می‌آوریم، سپس دامنه، بعد برد و در انتها هم ضابطه تابع را می‌نویسیم. با استفاده از این روش اغلب تابع به دو قسمت نشان داده می‌شود، مانند:

f\colon \mathbb{N} \to \mathbb{R} \,\! n \mapsto \frac{n}{\pi} \,\!

در اینجا دامنه تابع با نام «f» اعداد طبیعی و برد آن اعداد حقیقی است، و n را به خودش تقسیم بر π تبدیل می‌کند. (در بعضی موارد نام تابع را به همراه دونقطه، در بالای پیکان می‌آورند). روش نشان دادن دیگری هم وجود دارد که رایج‌تر اما غیرعلمی‌تر است، در این روش تابع به شکل کوتاه‌ شده زیر نشان داده می‌شود:

f(n) = \frac{n}{\pi} , \,\!

در این روش اطلاعات کمتری ارائه شده‌است و ما از دامنه و برد تابع خبر نداریم، و در این صورت به جای n می‌توانیم هر عددی از قبیل اعداد گنگ هم قرار دهیم.

بعضی از نویسندگان به جای استفاده از (f(A از [f[A استفاده می‌کنند و این کار برای رفع ابهام میان دریافت مفاهیم است، بعضی دیگر هم از f`x به جای (f(x، و f``A به جای [f[A استفاده می‌کنند.

 توابع با چند ورودی و خروجی

توابع دو (یا چند) متغیره

مفهوم تابع را می‌توان با ترکیب دو یا چند آرگومان بیان کرد. این مفهوم شهودی، زمانی می‌تواند تعریف شود که دامنه تابع حاصل‌ضرب دکارتی دو یا چند مجموعه باشد.

برای مثال، عملیات را بر روی تابع ضربی که از دو عدد صحیح برای به دست آوردن حاصل استفاده می‌کند انجام می‌دهیم: f(x, y) = x·y. تابع می‌تواند دامنه Z×Z، مجموعه تمام زوج‌ها به عنوان برد Z، و برای گراف، مجموعه تمام زوج‌های ((x,y), x·y) را داشته باشد. به یاد داشته باشید که مولفه اول چنین زوج‌هایی یک زوج از اعداد صحیح است، در حالی که مولفه دوم تنها یک عدد صحیح است.

مقدار تابع زوج (x,y) برابر است با f((x,y)). اگر چه معمولاً یک جفت از پرانتزها را حذف می‌کنند و آن را به شکل f(x,y) نشان می‌دهند، یعنی یک تابع دومتغیره شامل x و y.

توابعی که حاصلشان یک مجموعه ضرب است

در این گونه توابع، مقدار تابع شامل چند متغیر است. برای مثال، تابع mirror(x, y) = (y, x) را با دامنه R×R و برد R×R در نظر بگیرید. زوج (y, x) یکی از مقادیر برد تابع که یک مجموعه‌است، می‌باشد.

عملیات دوتایی

منظور ار عملیات دوتایی ساده در ریاضی همان جمع و ضرب است، وقتی که در توابع استفاده شوند مقادیر را از Z×Z به Z می‌برند. این موضوع در جبر شرح داده می‌شود و در آنجا از توابع nتایی برای انجام عملیات استفاده می‌شود.

چیزی که از گذشته مورد استفاده قرار می‌گرفته این است که از عملیات جمع و ضرب به عنوان نشانه‌های میان‌وندی استفاده شود: x+y و x×y به جای +(x, y) و ×(x, y).

 مجموعه توابع

مجموعه یک تابع از یک مجموعه X به یک مجموعه Y به صورت XY یا [XY] یا YX نشان داده می‌شود. آخرین عبارت یاد شده با استفاده از قضیه بدیهی |YX| = |Y||X| اثبات می‌شود. جزئیات بیشتر در اعداد اصلی بیان شده‌است.

معمولاً از عبارت f: XY برای بیان f ∈ [XY] استفاده می‌شود، و «f تابعی از X به Y است» خوانده می‌شود. بعضی افراد هم آن را «f: XY» می‌نویسند.

 آیا یک تابع بیشتر از گرافش است؟

بعضی از ریاضی‌دانان از یک رابطه دوتایی (از اینجا به بعد آن را تابع می‌گوییم) به عنوان سه‌تایی مرتب (X, Y, G) استفاده می‌کنند، که در آن X و Y مجموعه دامنه و برد، و G گراف f است. اگر چه، سایر ریاضی‌دانان رابطه‌ای را تعریف می‌کنند که فقط شامل زوج‌های مجموعه G باشد، بدون این که دامنه‌ای برای آن تعیین کرده باشند.

در هر تعریف خوبی‌ها و بدی‌هایی وجود دارد، اما هر یک از آنها تعاریف مناسبی هستند که مورد استفاده در ریاضی قرار می‌گیرند. دامنه و برد موضوع مهمی است و باید به طور واضح مشخص باشند.

 توابع ناقص و توابع چندتایی

وضعیت یک رابطه دوتایی f از X به Y را می‌توان به دو صورت تقسیم نمود:

  1. f تابع جمعی: برای هر x در X، چند y در Y وجود دارد به طوری که x با y در رابطه باشد.
  2. f تابع تک-مقداری باشد: برای هر x در X، حداقل یک y در Y وجود دارد به طوری که x با y در رابطه باشد.
جمعی و نه تک-مقداری
جمعی و نه تک-مقداری
تک-مقداری و نه جمعی
تک-مقداری و نه جمعی
تک-مقداری (یک تابع)
تک-مقداری (یک تابع)

در بعضی موارد که تابع وضعیت اول را دارد اما لزوماً از وضعیت دوم پیروی نمی‌کند، می‌توان تابع را تابع چندارزشی خواند؛ و رابطه‌ای که وضعیت دوم را دارد اما لزوماً از وضعیت اول پیروی نمی‌کند را می‌توان تابع ناقص خواند.

سایر توابع

توابع مختلفی وجود دارند که دارای خواصی هستند که در مباحث گوناگون ریاضی دارای اهمیت خاصی هستند. فهرستی از این توابع عبارتند از:

 

 بسط‌ها و محدودیت‌ها

در یک تعریف خودمانی، منظور از محدودیت یک تابع f، تغییر دامنه‌اش است.

اگر بخواهیم کمی دقیق‌تر نگاه کنیم، اگر f تابعی از X به Y باشد و S زیرمجموعه‌ای X، محدودیت f به S تابع f|S از S به Y می‌باشد و در این صورت می‌نویسیم برای هر s در S داریم f|S(s) = f(s).

اگر g محدودیتی از f باشد، در این صورت می‌نویسیم f بسطی از g است.

 انجام عملیات در یک نقطه

اگر fX → R و gX → R توابعی با دامنه X و برد R باشد، آن گاه می‌توان جمع دو تابع را به این صورت تعریف کرد: f + g: X → R و توابع ضرب را هم به صورت f × g: X → R و در نتیجه:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) (f × g)(x) = f(x) × g(x)

برای هر x در X.

 توابع شمارا و غیرشمارا

تعداد کمی توابع شمارا از اعداد صحیح به اعداد صحیح وجود دارد، اما تعداد توابع از اعداد صحیح به اعداد صحیح به اندازه تعداد اعداد حقیقی است. این نشان می‌دهد که توابع از اعداد صحیح به اعداد صحیح وجود دارد که خاصیت شمارا ندارند.

 

+ نوشته شده در  سه شنبه بیست و پنجم اردیبهشت 1386ساعت 17:28  توسط عبداله احمدی  |